encontrar una función tal que sea simétrica a través de $y=1-x$ de paso $(0,0)$ y $(1,1)$ , (no los deberes)

Question

Intento caracterizar un tipo específico de función. La función sería tal que es simétrica a través de la línea $y=1-x$ Esta función sería un mapeo $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ tal que $f(0)=0$ , $f(1)=1$ .

Esto se está utilizando para una medida robusta de la dependencia de la cópula y para la detección de eventos inusuales de concordancia en el caso bivariado con posible generalización futura al caso multivariado. Una función que se me ocurrió fue $$f(x; a,b) = \frac{b^{ax}-1}{b^a-1}$$ No sé si existe una base $b$ tal que esta función será siempre simétrica a través de la línea $y=1-x$ A continuación se presenta un gráfico de $f$ y $f^{-1}$ de 0 a 1 para que la base sea la proporción áurea y el parámetro $a$ siendo 10. Mi objetivo es que a sea un parámetro tal que, en algún límite la función y su inversa engullan todo el cuadrado.

http://i.imgur.com/98FGdNt.jpg

editar Creo que se reduce a encontrar una función tal que $f^{-1}(x) = 1-f(x)$

Answer 1

Prueba con $f(x;a)=1-(1-x^{a})^{1/a}$ para algunos $a\geqslant1$ . Entonces $f$ y $f^{-1}$ En efecto, engullir todo el cuadrado de la unidad $(0,1)^2$ cuando $a\to+\infty$ . El área encerrada entre sus gráficos comienza en la línea $y=x$ cuando $a=1$ y aumenta hasta ser el cuadrado completo $(0,1)^2$ cuando $a\to+\infty$ .

La simetría con respecto a $x+y=1$ es obvio ya que la gráfica de $f$ es el cuarto sureste de la curva $|x|^{a}+|y-1|^{a}=1$ . En general, toda función $f$ definido por $\varphi(x)+\varphi(1-f(x))=0$ para alguna función $\varphi$ satisfaría esta simetría.

Answer 2

Definir $g(x)=f(1-x)$ . Entonces $g(x)$ es simétrica respecto a $x=y$ si, y sólo si $f(x)$ es simétrica respecto a $y=1-x$ . Esta condición equivale a $(g\circ g)(x)=:g^2(x)=x$ . Además, implica que $g$ es invertible (si hubiera $x_1,x_2$ tal que $g(x_1)=g(x_2)=y$ entonces $x_1=g^2(x_1)=g(y)=g^2(x_2)=x_2$ lo cual es obviamente imposible).

Para su caso particular tenemos: $$g(x) = \frac{b^{a(1-x)}-1}{b^a-1}$$ Calculamos $$g^2(x) = \frac{b^{a\left(1-\frac{b^{a(1-x)}-1}{b^a-1}\right)}-1}{b^a-1}=\frac{b^{a\frac{b^a(1-b^{a(-x)})}{b^a-1}}-1}{b^a-1}$$ Ahora no creo que sea posible encontrar parámetros $a$ y $b$ tal que esta función es la identidad...