Desigualdad con raíces cuadradas y condición

Question

Dado$a+b+c=1$, demuestre que$\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}4}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le \sqrt{3}$.

Hasta ahora, he tratado de aplicar cauchy schwarz de alguna manera porque esto funciona bien con raíces cuadradas y los signos de desigualdad coinciden. Sin embargo, esta falta de homogeneidad me está haciendo tropezar, por lo que me gustaría saber cómo podría resolver esta desigualdad. ¡Gracias!

Answer 1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$ \ left (\ sqrt {a + \ dfrac {(bc) ^ 2} {4}} + \ sqrt {b} + \ sqrt {c} \ right) ^ 2 \ le \ left (a + \ dfrac {(bc) ^ 2} {4} + \ dfrac {(\ sqrt {b} + \ sqrt {c}) ^ 2} {2} \ right) (1 +2) $$$$\Longleftrightarrow \left(a+\dfrac{(b-c)^2}{4}+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\right)\le 1$ $ desde$1-a=b+c$$$\Longleftrightarrow \dfrac{(b-c)^2}{4}+\dfrac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}\le b+c$ $$$\Longleftrightarrow \dfrac{(b-c)^2}{4}\le\dfrac{(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2}{2}$ $$$\Longleftrightarrow (\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\le 2$ $ y$$b+c\le 1\Longrightarrow (\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\le[1+1](b+c)$ $