Deje que$V$ sea un espacio lineal real de dimensión finita y que$K$ sea un subgrupo compacto de$GL(V)$ (con la topología habitual); entonces, ¿hay una base de$V$ tal que cada$f\in K$ sea una matriz ortogonal bajo esta base?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje que$\mu$ la medida normalizada de Haar en$G$, y$\langle\cdot\mid\cdot\rangle$ del producto interno habitual en$\mathbb R^n$ (asumimos que$V=\mathbb R^n$). Defina otro producto interno$\langle\cdot\mid \cdot\rangle_G$ por$$\langle x\mid y\rangle_G:=\int_G \langle gx\mid gy\rangle\mu(dg).$ $ Dado que la medida de Haar es invariante por traducción, tenemos para todos los$g\in G$:$\langle gx\mid gy\rangle_G=\langle x\mid y\rangle$. Deje$M'$ tal que$\langle x\mid y\rangle_G=^tyM'x$. Tenemos$^tgM'g=M'$ para todos$g\in G$, y dado que$M'$ es positivo definido, podemos encontrar una matriz invertible$M$ tal que$M'=^tMM$. Tenemos$^tg^tMMg=^tMM$ así que$^t(MgM^{-1})\cdot (MgM^{-1})=I_n$, por lo tanto,$MGM^{-1}\subset O(n)$.
