Si$\theta$ es un número racional, ¿es$e^{i\pi\theta}$ algebraico?

Question

Quiero saber si$\theta$ es un número racional, ¿es$e^{i\pi\theta}$ un número algebraico o no?

Para el primer paso intenté escribirlo$(e^{i\pi})^\theta$, que es igual a$(-1)^\theta$, pero creo que los poderes no son conmutativos. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Tienes razón para estar preocupados acerca de que las leyes de poder se puede confiar en la presencia de los números complejos. Me parece que ayuda ligeramente a escribir la función exponencial como $\exp(z)$ en lugar de $e^z$ como un recordatorio de que todo no puede ser como las que estamos acostumbrados desde el caso real.

Ahora esperamos ya saben, demostrado a partir de primeros principios y sea cual fuere la definición de la función exponencial que está trabajando, que $$ \exp(z+w)=\exp(z)\exp(w) $$ y de esto, por inducción, podemos probar para $z\in\mathbb C, n\in\mathbb N$: $$ \exp(z)^n = \exp(zn) $$ donde el lado izquierdo está garantizado para ser significativo porque enteros potencias de arbitraria de números complejos están bien definidos.

Luego, siguiendo Mathmo123 comentario, podemos decir $$ \exp(i\pi\tfrac pq)^{2q} = \exp(i\pi\tfrac pq2q) = \exp(p\cdot 2\pi i) = 1 $$ donde la última igualdad es de la fórmula de Euler, que nosotros también esperamos que ya saben.

Por lo $z=e^{i\pi\frac pq}$ es una raíz del polinomio $z^{2q}-1$ y por lo tanto es algebraico.