$f$ tiene un cero de orden$m\iff \frac{1}{f}$ tiene un polo de orden m

Question

Pregunta

Deje que$f$ sea holomórfico en un dominio$D\subset \Bbb{C}$. Luego,$f$ tiene un cero de orden$m$ en$z_0\in D \iff \frac{1}{f}\in H({D \setminus f^{-1}(0)}) \text{ has a pole of order $ m$ in } z_0$.

Mi intento: He probado la dirección "$\implies$".

Para la otra implicación, suponemos que$$\min\left\{v\in \Bbb{N} : \frac{(z-z_0)^v}{f}\text{ is bounded near }z_0\right\}=m$ $

Necesitamos encontrar un$g\in H(D)$ con$g(z_0)\neq 0$ tal que$f = (z-z_0)^m g$.

No he podido hacer esto. Por favor dime que podría hacer.

Answer 1

Si$\frac{1}{f}$ tiene un polo de orden$m$ en$z_0$, existe una función holomórfica$g$ en un vecindario$U$ de$z_0$ tal que$\frac{1}{f(z)} = \frac{g(z)}{(z - z_0)^m}$ con $g(z_0) \neq 0$. Dado que$g$ es continuo y$g(z_0)\neq 0$,$g(z)\neq 0$ en un vecindario$V$ de$z_0$. Ahora$U\cap V$ es un vecindario de$z_0$ tal que$f(z) = (z - z_0)^m\cdot \frac{1}{g(z)}$ para todos$z\in U\cap V$, y$\frac{1}{g}$ es holomorfo en$U\cap V$ desde$g$ es holomorfo y libre de cero en$U\cap V$. Además, $\frac{1}{g(z_0)}\neq 0$. Por lo tanto,$f$ tiene un cero de orden$m$ en$z_0$.

Answer 2

Sugerencia: si$\frac{1}{f}$ tiene un polo$z_0$ de orden$m$ entonces existe una función$\varphi (z)$ analítica y no cero en$z_0$ tal que$$\frac{1}{f(z)} = \frac{\varphi (z)}{(z- z_0)^m}$% PS

tomar $ then $.