Cálculo de la composición de una función por partes.

Question

Pregunta:

PS

Calcular$$ \text{Define } f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\text{ by }f(x)=\begin{cases}x+3\text{ if }x\text{ is ODD}\\ x-5\text{ if }x\text{ is EVEN}\end{cases} $

Mi intento:

$ \ f \circ f$

Desde aquí, ¿tengo que crear otra función por partes y considerar los casos cuando$ \ (f \circ f)(x) = f(f(x))$ y cuando$ f(x) = x+3$?

Answer 1

Cuando$x$ es impar$f(x)=x+3$, entonces$f(x)=x+3$ es par y$f\circ f(x)=f(f(x))=(x+3)-5=x-2$.

Cuando$x$ es incluso$f(x)=x-5$, entonces$f(x)=x-5$ es impar y$f\circ f(x)=f(f(x))=x-5+3=x-2$.

Por lo tanto,$f\circ f(x)=x-2$.

Answer 2

Sí, usted podría considerar la composición como una función definida a tramos. $$(f\circ f)(n) = f( f(n) ) = \begin{cases} f(n) + 3 & \text{if %#%#% is odd, and} \\ f(n)-5 & \text{if %#%#% is even}. \\ \end{casos}$$

Pero aviso que $f(n)$$f(n)$, además de algunos entero impar ($f(n)$ o $n$). Por lo tanto $+3$ es que cuando la $-5$ es impar, y viceversa. Así tenemos $$f( f(n) ) = \begin{cases} f(n) + 3 & \text{if %#%#% is even, and} \\ f(n)-5 & \text{if %#%#% is odd}. \\ \end{casos}$$ Pero luego no sabemos qué hacer con $f(n)$. Al $n$ es incluso, $n$, lo $n$$ Así, la primera parte de los trozos de definición puede ser reescrito para dar $$f( f(n) ) = \begin{cases} n-2 & \text{if %#%#% is even, and} \\ f(n)-5 & \text{if %#%#% is odd}. \\ \end{casos}$$ Del mismo modo, de $f(n)$ es impar, entonces $n$, y así $f(n) = n-5$$ De ahí la segunda parte de la composición definida a trozos puede ser reescrito, dando $$f( f(n) ) = \begin{cases} n-2 & \text{if %#%#% is even, and} \\ n-2 & \text{if %#%#% is odd}. \\ \end{casos}$$ Ya que tenemos la misma cosa, de cualquier manera, llegamos a la conclusión de que $$f(n) + 3 = (n-5) + 3 = n-2.$$

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Que comienzan dijo, es tal vez la más directa de hacer lo siguiente: hay dos casos a considerar, $n$ es incluso, o $n$ es impar (ya que todos los números enteros son pares o impares). Si $n$ es par, entonces $f(n) = n+3$$ Pero $$f(n)-5 = (n+3)-5 = n-2.$ es impar (par - impar = impar), por lo que $n$$

Del mismo modo, si $n$ es impar, entonces $$(f\circ f)(n) = n-2.$$

En cualquier caso, llegamos a la conclusión de que $n$$