Una sala comienza vacío. Cada hora, 2 personas entran o salir de 4 personas. ¿En exactamente un año, puede haber personas exactamente 1100 en la sala?
Creo que puede haber porque es 1100, pero ¿cómo probar/refutarla?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un Consejo general: siempre que usted tiene que destilar una respuesta simple de una mezcla confusa de casos, mirar hacia fuera para el invariante.
Aumenta el resto mod 6 $2$ por hora; por lo tanto es periódica con período de 3 horas. Como 24 es divisible por $3$, después de exactamente un año el resto mod $6$ $0$, si tenemos un año bisiesto o no. Se deduce que una ocupación de $1100$ es imposible entonces.
Shabaz
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DiGi
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Aquí es un poco diferente de tomar Cristiana del enfoque. No hay casi nada en lo que no es, al menos implícito en una u otra de las otras respuestas, pero puede ser de alguna utilidad en la demostración de una manera en la que uno podría abordar el problema.
En primer lugar, me doy cuenta de que podemos dividir todo en el problema por $2$: cada día, ya sea a una persona entra o dos de irse, y queremos saber si podemos tener de $550$ de personas en la habitación después de exactamente un año. Esto hace ningún cambio esencial en el problema, pero a veces es más fácil ver las cosas cuando se trabaja con números más pequeños.
Entonces me pregunto: ¿después de cuánto muchas horas en la habitación puede estar vacía. Claramente si no se $n$ horas en el que dos personas de la izquierda, no debe haber sido $2n$ horas en las que una persona entró, por lo $3n$ horas debe haber pasado. En otras palabras, la sala se vacía sólo después de un múltiplo de $3$ horas. Esto, naturalmente, hace que me pregunte lo que puede suceder después de $3n+1$ o $3n+2$ horas. Que a su vez me lleva a pensar mod $3$, y me doy cuenta de que restando $2$ es la misma que la adición de $1$ mod $3$. En otras palabras, no importa lo que pasa, cada hora que la población de la habitación aumenta por $1$ mod $3$. Uno regular del año ha $8760$ horas, por lo que (mod $3$) al final de un año de la habitación debe contener $8760\bmod 3=0$ de la gente. Por desgracia, $550\bmod 3=1$, por lo que no puede acabar con $550$ de personas en la habitación al final de un año. Y desde el día extra en un año bisiesto, se añade otro $24\bmod 3=0$ gente, no podemos acabar con $550$ sardinas a la gente en la habitación al final de un año bisiesto.
Lissome
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La respuesta es no. Puesto que hay 24 horas en el día, el número de horas en un año es múltiple de 3.
Taakes no múltiplo de tres horas para llenar la sala con 1100 personas y entonces un múltiplo de tres horas para equilibrar el ambiente.
Alternativamente: $(2x-4y)-(x+y)$ es un múltiplo de tres. Por lo tanto 1100-no de horas debe ser múltiples de tres...
Ram Shrestha
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