¿Cuál es la probabilidad de que un cubo de Rubik sea resoluble si intercambias al azar dos cuadrados?

Question

Estoy tratando de aprender a resolver un Cubo de Rubik y el cubo rubik 4x4 de la escuela le faltan 4 cuadrados, eso me hizo pensar: si cambiaras aleatoriamente dos cuadrados, ¿seguiría siendo resoluble?

Sé que la imagen plana (ejemplo de lo que quiero decir) donde deslizas un cuadrado en el plano xy son resolubles, excepto si cambias los dos últimos cuadrados cuando está en su ubicación de identidad. Por ejemplo, si cortas una imagen en 16 cuadrados y luego quitas el 16° (abajo a la derecha) y luego cambias el 14° y el 15° cuadrado, entonces sería irresoluble.

Realmente no sé cómo decir eso de una mejor manera matemáticamente

Answer 1

Para el cubo de Rubik estándar, la probabilidad es cero si intercambias dos cuadrados que en realidad son de diferente color:

El cubo de Rubik tiene cuadrados en los centros de las caras, que no se mueven en absoluto; cubos de bordes, que pueden rotar y moverse, pero siempre permanecen como cubos de bordes; cubos de vértices, que pueden rotar y moverse, pero siempre permanecen como cubos de vértices.

• Si cambias dos centros de caras, el cubo se vuelve irresoluble porque no habrá cubos de vértices adecuados disponibles para al menos un vértice.
• Si intercambias las dos caras del mismo cubo de borde, el cubo se vuelve irresoluble porque girar dicho cubo no es un elemento del grupo.
• Si cambias dos caras del mismo cubo de vértice, el cubo se vuelve irresoluble porque ese cubo ya no encaja (orientación incorrecta de los colores en él)
• Si intercambias cuadrados entre diferentes cubos de borde, esto requeriría no alterar el conjunto de cubos de borde. Por ejemplo, no debes producir un segundo borde verde-amarillo. Esto significa que debes intercambiar entre dos cubos que comparten un color (por ejemplo, intercambiar amarillo y rojo entre el cubo de borde verde-amarillo y el cubo de borde verde-rojo). Si recuerdo correctamente$^1$, no es posible intercambiar dos cubos de borde pertenecientes a la misma cara manteniendo su orientación correcta (con respecto a la cara común)
• Si intercambias cuadrados entre diferentes cubos de vértice, esto hace que el cubo sea irresoluble. De hecho, al conocer dos de los cuadrados de un cubo de vértice, su ubicación correcta ya está completamente determinada.

$^1$ Este es el único punto del que no estoy al 100% seguro y tendría que verificar.

EDITAR: Después de consultar en Wikipedia, me deshice de las dudas mencionadas en la nota al pie: incluso considerando solo la posición, no la orientación de los cubos, el grupo opera solo como $A_{12}$, no como $S_{12}$ en los bordes.

Answer 2

Estoy publicando una nueva respuesta, porque la respuesta existente trata sobre el cubo 3×3, que es muy diferente en este sentido de un cubo 4×4.

Para responder la pregunta realmente, SÍ un cubo 4×4 será resoluble si intercambias al azar dos centros.

En un cubo 4×4, la paridad de la permutación de los centros siempre debe ser la misma que la paridad de la permutación de las esquinas, sin embargo, la paridad par e impar de la permutación de los centros no es distinguible, ya que hay 4 centros idénticos de cada color.

Esto se puede demostrar con un algoritmo de conmutador simple como este. Este algoritmo intercambia tres centros desde la perspectiva mecánica, sin embargo, debido al hecho de que dos de ellos son del mismo color, el efecto resultante es que solo se han intercambiado dos centros.