Diferencias entre derivados y derivados fuertes.

Question

Definición: Sea$f$ una función de valor real. Decimos que$f$ es$\mathbf{strongly}$$\mathbf{differentiable}$ en$x = a$ si los siguientes límites existen y son finitos:

PS

y podemos$$ \lim_{x \to a, y \to a, x \neq y} \frac{ f(x)-f(y)}{x-y} = f^*(a) $ el derivado fuerte de$f^*(a)$ en$f$. ¿Por qué esta definición de derivado es diferente a la habitual? ¿Cuál es el principal punto crucial a entender aquí que lo hace diferente?

Answer 1

Aquí es más o menos lo que todos los estudiantes de análisis debe saber.

Esta "fuerte" derivado fue introducido por Peano en 1892 como una "estricta derivado". Esta pregunta más de una función que simplemente tienen una (ordinario) de derivados y Peano pensaba que este era en realidad mejor para los estudiantes y los ingenieros de aprender y de usar. Prefiero su terminología, puesto que la palabra "fuerte" queda bastante trillado en el análisis e interfiere con el más popular de los usos.

G. PEANO: Sur la définition de la dérivée, Mathesis, (2) 2 (1892), 12-14.

Para una función continua $f$ la estricta (fuerte) derivado $f^*(x_0)$ existe en un punto si y sólo si (y, por tanto, todos los cuatro) de la Dini derivados $D^+f(x)$, $D_+f(x)$, $D^-f(x)$ o $D_-f(x)$ es continua en a $x_0$.

En particular, si $f'(x)$ es continua en un punto a$x_0$, la estricta derivado $f^*(x_0)$ existe y, por supuesto, es igual a la ordinaria derivado $f'(x_0)$. Si $f'(x)$ existe en un barrio de el punto $x_0$ , la estricta derivado en $x_0$ existe si y sólo si $f'$ es continua en a $x_0$.

Para una bibliografía de artículos sobre el tema de la siempre fiable Dave Renfro ha suministrado unos cuantos en su StackExchange respuesta.

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Aquí están algunas consideraciones si desea decidir si prefiere que todos sus derivados, para ser fuerte (como Peano).

Si $f'(x_0)$ existe usted puede estar seguro de que $f$ es continua en a $x_0$, pero podría ser discontinua y muy patológicos en todas partes. Pero si $f^*(x_0)$ existe, entonces usted puede estar seguro de que $f$ no sólo es continuo en $x_0$, es continua en un barrio $(x_0-\delta,x_0+\delta)$. Pero mucho más que eso: incluso es Lipschitz en $(x_0-\delta,x_0+\delta)$.

Si $f'(x_0)$ existe, entonces, como ya se ha señalado, no tiene que ser un derivado en cualquier otro punto. Pero si $f^*(x_0)$ existe, entonces no hay algunos vecindario $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ que $f$ tiene en casi todas partes un derivado y que la derivada es continua en a $x_0$ (es decir, la continua relación al conjunto de los puntos en los que existe).

Si prefieres café té verde, un robusto merlot a un sauvignon blanc, y un filete poco hecho a un filete de lenguado, probablemente como Peano la idea de utilizar la fuerte derivados en lugar de su cobarde primos (el ordinario derivado) cuando se tiene que enseñar el cálculo. Especialmente para los ingenieros.