$\Bbb{R}^\omega$ no es localmente compacto

Question

Aquí está el ejemplo 2 en el capítulo 3.29 en Munkres:

El espacio de $\Bbb{R}^\omega$ [definido como $\Bbb{R} \times \Bbb{R} \times \Bbb{R} \times ...$ dotado de la topología producto] no es localmente compacto...porque si $B = (a_1,b_1) \times ... \times (a_n,b_n) \times \Bbb{R} \times ...$ estaban contenidas en un subespacio compacto, luego de su cierre $\overline{B}$ sería compacta, que no lo es.

El siguiente suficientes manera de llenar los detalles? Recordar que todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff ($\Bbb{R}^\omega$ es en el hecho de metrizable) es necesariamente cerrado. Así, este espacio compacto que contenga $B$ debe estar cerrada. Ahora desde el cierre de las $B$ es el menor conjunto cerrado que contiene a $B$, el cierre de $B$ debe estar contenida en este conjunto compacto también. De nuevo, recordar que todo subespacio cerrado de un subespacio compacto es compacto, lo $\overline{B}$ compacto. Sin embargo, si se compacta, entonces su imagen en el mapa continuo $\pi_{n+1}$, la proyección de la $(n+1)$-ésimo factor, también habría de ser compacto, pero esto es una contradicción ya que la imagen es $\Bbb{R}$, que es conocido por no ser compacto.

Answer 1

Podemos ver más:

La proposición: El espacio del producto $\prod X_\alpha$ es localmente compacto si y sólo si cada una de las $X_\alpha$ es localmente compacto y $X_\alpha$ es compacto para todo, pero un número finito de valores de $\alpha.$

Prueba. Recordar que las proyecciones de $\pi_\beta:\prod X_\alpha\to X_\beta$ son continuas mapas abiertos. Supongamos que $\prod X_\alpha$ es localmente compacto. Deje $\mathbf{x} \in \prod X_\alpha.$, Entonces existe un subespacio compacto $C$ $\prod X_\alpha$ que contiene un barrio de $\mathbf{x}.$ Este barrio contiene una base de elemento por $\prod X_\alpha$ contiene $\mathbf{x},$ dice $U=\prod U_\alpha$ donde $U_\alpha=X_\alpha$ para todos, pero un número finito de índices, decir $\alpha_1, \ldots, \alpha_n.$ Deje $\beta \neq \alpha_i$ todos los $i=1,\ldots,n.$ $\pi_\beta(C)$ es compacto y contiene $\pi_\beta(U)=X_\beta,$ $\pi_\beta(C)=X_\beta$ $X_\beta$ es compacto. Por lo tanto $X_\alpha$ es compacto para todo, pero un número finito de valores de $\alpha.$ Ahora podemos demostrar que $X_{\alpha_i}$ es localmente compacto para $i=1,\ldots,n.$ Deje $x \in X_{\alpha_i}.$ Deje $\mathbf{x} \in \prod X_\alpha$ ser tal que $x_{\alpha_i}=x.$ No es un compacto $C$ que contiene una base vecindario $U$ $\mathbf{x}.$ $\pi_{\alpha_i}(C)$ es un subespacio compacto de $X_{\alpha_i}$ contiene el vecindario $\pi_{\alpha_i}(U)$$x.$, por Lo que los espacios de $X_{\alpha_i}$ son (al menos) localmente compacto.

Ahora supongamos que cada una de las $X_\alpha$ es localmente compacto y $X_\alpha$ es compacto para todo, pero finitely $\alpha.$ Deje $\mathbf{x} \in \prod X_\alpha.$ Por cada $\alpha,$ existe un subespacio compacto $C_\alpha$ $X_\alpha$ que contiene un vecindario $U_\alpha$ $x_\alpha.$ Por hipótesis, para todos, pero un número finito de índices, podemos suponer que $C_\alpha=U_\alpha=X_\alpha.$ Por el teorema de Tychonoff, $\prod C_\alpha$ es compacto, y contiene el vecindario $\prod U_\alpha$ $\mathbf{x}.$ por lo tanto $\prod X_\alpha$ es localmente compacto.

Answer 2

Todas las ideas están ahí, pero me gustaría simplificar un poco como esto:

Supongamos que para algunos $x \in \mathbb{R}^\omega$ tenemos que está contenida en un conjunto compacto $C$ que contiene una vecindad $O$ (abierto, WLOG) de $x$ (su definición). Entonces existe un conjunto abierto $B$ por encima de esos que $x \in B \subseteq O \subseteq C$. De hecho, $C$ es cerrado como $\mathbb{R}^\omega$ es Hausdorff, por lo $\overline{B} \subseteq \overline{C} = C$, y en cualquier espacio, un subconjunto cerrado de un subconjunto compacto es compacto, por lo $\overline{B}$ es compacto. La contradicción como su $(n+1)$-ésima coordenada (en su notación), de hecho es $\mathbb{R}$ que no es compacto.

Por lo $\mathbb{R}^\omega$ no es localmente compacto en cualquier momento.

Answer 3

Cualquier vecindario$V$ de$x$ tiene la forma$x+V_0$ donde$V_0$ es un vecindario de$0$. Pero cualquier vecindario de$0$ contiene una elemental cerrada$W_0$% que es el producto de un hipercubo (de dimensión finita$d$) y el producto de líneas completas ($\epsilon>0$ y$F\subset \omega$ finito con$d$ elementos) $$ W_0 = (\ prod_ {i \ en F} [- \ epsilon, \ epsilon]) \ times \ mathbb {R} ^ {\ omega - F} $ $ por lo tanto, contiene un subespacio infinito dimensional que no es compacto.