Encuentra todos los números de 4 dígitos que$ABCD=(CD)^2$

Question

Por favor ayúdame a resolver el siguiente problema:

Encuentre todos los números de 4 dígitos tal que$ABCD=(CD)^2$. (¡Cualquiera de$A,B,C,D$ es un dígito!)

Sé que una de las soluciones es$5776=(76)^2$.

Answer 1

Necesitamos$D^2\equiv D\pmod{10}$, por lo tanto,$D(D-1)$ debe ser un múltiplo de$10$. Esto implica que$D\in\{0,1,5,6\}$.

A continuación, el dígito de las decenas de$(CD)^2=(10\cdot C+D)^2=100\cdot C^2+20\cdot C\cdot D+D^2$ está determinado por los dígitos de las unidades de$2\cdot C\cdot D$ y el dígito de las decenas de$D^2$.

• Para$D=0$ necesitamos$2\cdot 0\cdot C\equiv C\pmod {10}$, así que$C=0$.
• Para$D=1$ necesitamos$2\cdot 1\cdot C\equiv C\pmod {10}$, así que$C=0$.
• Para$D=5$ necesitamos$2\cdot 5\cdot C+2\equiv C\pmod {10}$, así que$C=2$
• Para$D=6$ necesitamos$2\cdot 6\cdot C+3\equiv C\pmod {10}$, así que$C=7$

Por lo tanto, la lista completa de respuestas es$$00^2=0000\quad 01^2=0001\quad 25^2=0625\quad 76^2=5776 $ $ y posiblemente no contará las primeras tres como válidas.

Answer 2

Si permites ceros iniciales, hay tres más. $D$ debe ser $0,1,5,6$. Luego puede probarlos todos; solo hay$40$ posibilidades. Como$0,1$ no lleva, en ambos casos debemos tener$C=0$. Para$5$ tiene que ser$2$, dando$00,01,25,76$

Answer 3

Si una solución programática (Python 2.7) es aceptable, entonces:

 for n in range(0,100):
    if (n*n)%100 == n:
        print "%04d"%(n*n)
 

Da:

 0000
0001
0625
5776