¿Es$f(x):= \frac{x}{ |x|^n }$ un campo de gradiente?

Question

para $2 \leq n$ deja de ser

$f: \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \} \rightarrow \mathbb{R}^n$

$f(x):= \frac{x}{|x|^n}$ , $x\in \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \}$

Sea f un gradiente de campo?

Un vectorfield $f$ ist un gradiente de campo, si no hay una función $f= \nabla v$

$\left[ \nabla f (x) = (\frac{ \partial f}{ \partial x_1} (x),...,\frac{ \partial f}{ \partial x_n} (x)) \right]$

Por lo tanto, necesito encontrar una función de $v$ , de modo que $f= \nabla v$ derecho?

Si miro para el caso de $n=2$ por lo $f(x):= \frac{x}{|x|^2} \in \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \}$

vamos a ser $\partial_j v(x)= \frac{x_j}{|x|}$

a continuación, $v(x)= ln(|x|)$ y

$$\partial_j v(x)= \frac{1}{|x|} \frac{x_j}{|x|} = \frac{x_j}{|x^2|}$$

Es esta la mejor idea? Si sí, ¿cómo puedo proceder para mayor $n$? Si no, ¿qué sugeriría usted?

Agradezco cualquier ayuda !

Answer 1

Supongamos que existe una $V(x)$ tal que $\frac{d}{dx}V(x)=f(x)$.

Por lo tanto:

$$\int_a^y\frac{d}{dx}V(x)dx =\int_a^yf(x) dx$$

Aplicando el teorema fundamental del cálculo nos da:

$$V(y)=\int_a^y \frac{x}{|x|^n} dx$$ Ahora vamos a romper los casos. Supongamos que estamos considerando sólo $x,a,y > 0$. Entonces, nos quedamos con un simple realmente integral, a saber: $$V(y)=\int_a^y \frac{x}{x^n} dx = \int_a^y \frac{1}{x^{n-1}} dx.$$

Ahora, supongamos que estamos considerando sólo $x, a, y < 0$. Esto también simplifica muy bien:

$$V(y)=\int_a^y \frac{x}{(-x)^n} dx = (-1)^n\int_a^y \frac{1}{x^{n-1}} dx.$$

Así que parece que tenemos una definición para $V$.

\begin{cases} V(x) = \frac{1}{2-n}x^{2-n} & x < 0 \\ V(x) = \frac{1}{2-n}(-1)^n x^{2-n} & x>0 \end{casos}

Answer 2

Su $f$ es un campo radial y que sólo depende de la magnitud de su vector de $r = |\vec{r}|$ por lo que es de la forma $$f(\vec{r}) = \frac{\vec{r}}{r^n} = F(r)\hat{r}$$ where $F(r) = \frac1{r^{n-1}}$ and $\hat{r}$ es la unidad radial del vector.

Observe que para una función escalar $\phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ , dependiendo únicamente de la magnitud $r$ tenemos $$\nabla \phi(r) = \phi'(r)\nabla r = \phi'(r)\hat{r}$$

desde $\nabla r = \hat{r}$.

Por lo tanto, si $$\phi(r) = \int F(r)\,dr = -\frac1{(n-2)r^{n-2}}$$ a continuación, $f = \nabla \phi$.