Una comprensión conceptual de las transmutaciones (y bosonizaciones) de álgebras de Hopf (trenzadas)

Question

Considere la posibilidad de un coquasitriangular de Hopf-álgebra $(H,\mu,\eta,\Delta,\epsilon, S)$ sobre un campo $\mathbb F$ con la característica cero y el trenzado de categoría monoidal $\mathcal C$ $H$- a la derecha-comodules. De forma explícita que denotan la coquasitriangular forma de $H$ $r$ y su convolución inversa por $r'$. Un largo cálculo se obtiene el resultado de que $H$ puede ser "transmutated" en una de Hopf-álgebra objeto en $\mathcal C$ considerando como un comodule álgebra sobre sí mismo por el coadjoint acción conjunta y la redefinición de su multiplicación y antípoda. Que es: $(H,\overline \mu,\eta, \Delta,\epsilon, \overline S)$ con \begin{align*} \overline \mu &: H \otimes_\mathcal C H \rightarrow H , h\otimes g \mapsto h_{(2)}g_{(2)} r(S(h_{(1)}h_{(3)} \otimes S(g_{(1)})\\ \overline S &: H \rightarrow H , S(h_{(2)})r(S^2(h_{(3)})S(h_{(1)}) \otimes h_{(4)}) \end{align*} y comodule estructura dada por \begin{align*} \delta: H \rightarrow H \otimes_\mathbb F H, h \mapsto h_{(2)}\otimes S(h_{(1)})h_{(3)} \end{align*} es una de Hopf-álgebra objeto en $\mathcal C$.

Lo que yo estaría interesado en una comprensión conceptual de este método y de algunas de sus propiedades:

1. ¿Por qué es la confluencia dispuesto a ser el coadjoint confluencia ?
2. Hay una técnica general que participan en la búsqueda de la adaptación de la multiplicación y la antípoda?
3. ¿Qué propiedades de la original álgebra de Hopf se observan?
4. Puede este proceso se repetirá?
5. Es esta construcción functorial?

Answer 1

1. En primer lugar, es tal vez vale la pena mencionar que el transmutated (o covariantized álgebra de Hopf) puede ser motivada por la generalización de un resultado para la (co)propiedad conmutativa álgebras de Hopf). Observar thatin el caso de que $H$ es conmutativa, no hay necesidad de covariantize el producto como $H$ ya se convierte en un módulo de álgebra con respecto a la coadjoint acción conjunta.

Esta es la razón por la coadjoint acción se utiliza. Coquasi triangular conceptualmente significa "casi conmutativa" para un álgebra de Hopf.

Otro conceptual uso de $\underline{H}$ es que da una forma de ver el Drinfeld doble de álgebras de Hopf como un bosonozation. Esto, de nuevo, se generaliza un resultado donde la transmutación no es necesario para la (co)propiedad conmutativa álgebras de Hopf y consiste en la (co)adjoing (co)de la acción. Ver su libro [Fundamentos de la Cuántica, Teoría de grupos, el Teorema de 7.4.5] o los documentos originales.

2. Sí, es mucho más natural entender que tal construcción después de aprender acerca de una variación de Tannaka--Krein reconstrucción dentro del trenzado monoidal categorías. Una exposición de este se puede encontrar en su libro [Fundamentos de la Cuántica de la Teoría de Grupo] en el Capítulo 9.4. Puede ser que vale la pena leer las secciones anteriores del Capítulo 9 de la primera.

El punto de la transmutación, a continuación, para encontrar un trenzado de álgebra de Hopf $\underline{H}$ dentro de la categoría de $H$-comodules tal que los módulos a través de dentro de esta categoría la captura de todos los $H$-comodules. Esto se puede hacer y la respuesta es la estructura que usted describe. $\underline{H}$ $H$ a sí mismo como un coalgebra, pero tendrá esta nueva, "transmutated" del producto.

3. $\underline{H}$ "trenzado conmutativa" en cierto sentido, véase su libro, 9.4.10.

4. Esta es una buena pregunta. Supongo que no de una manera obvia en $H$. Lo que se puede hacer es estudiar el álgebra de Hopf bosonization (Radford biproduct) $\underline{H}\rtimes H$ y, a continuación, covariantize esto, como debe ser doble cuasi triangular debido a $\underline{H}$ es, en cierto sentido trenzado conmutativa. Pero esto tendría que ser investigado con más cuidado.

5. Usted podría mirar a la construcción de $B(H_1,H)$ para un álgebra de Hopf de inclusión $H_1\to H$ en su libro. El resultado es un trenzado de álgebra de Hopf en $H_1$-comodules. Esta no es una respuesta completa a functoriality por supuesto, pero va en esa dirección.