Prueba algebraica de que si$a>0$ entonces$1+a^9 \leq \frac{1}{a}+a^{10} $

Question

Demuestre que si$a>0$ entonces$1+a^9 \leq \frac{1}{a}+a^{10} $.

Usando el hecho de que$a \gt 0$, multiplica por$a$ en ambos lados y pon todo a un lado que tenemos; $a^{11}-a^{10}-a+1 \geq 0$. Factorizando$(a^{10}-1)(a-1) \geq 0 $.

No estoy seguro de cómo seguir adelante.

Answer 1

Si $a>0$ $a \le 1$ siguiente $a^{10}\le 1$ e de $a \ge 1$ siguiente $a^{10}\ge 1$ por Lo tanto $(a-1)\ge0$ $(a^{10}-1)\ge0$ o $(a-1)\le0$$(a^{10}-1)\le0$. En ambos casos tenemos $$(a-1)\cdot (a^{10}-1)\ge0$$

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Pero para este tipo especial de desigualdad podemos argumento de la siguiente manera: $$(a^{10}-1)(a-1)\\ =((a-1)(a^9+a^8+\cdots+a+1))(a-1)\\ =(a-1)^2(a^9+a^8+\cdots+a+1)\\ \ge0$$

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Con ambos métodos se puede deducir fácilmente

si $a<-1$ $(a^{10}-1)(a-1) \leq 0$

y

si $-1<a<0$ $(a^{10}-1)(a-1) \geq 0$

Answer 2

Necesitamos probar$1+a^9\le\frac{1}{a}+a^{10}$. Ya prueba que es suficiente y necesario que$(a-1)(a^{10}-1)\ge 0$.

Esta última desigualdad es verdadera (cuando$a>0$) porque:$(a-1)(a^{10}-1)=(a-1)^2(a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)$

Y es trivial que$a^9+a^8+a^7+a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1> 0$, porque$a>0$, y siempre$(a-1)^2\ge 0$, multiplicando estas dos desigualdades, hemos terminado.

Answer 3

Una forma es mediante la evaluación de los casos. Primer vistazo a $a\ge1$. Claramente tenemos que $a-1$ $a^{10}-1$ son mayores o iguales a cero (Si lo desea, deje $a=1+\epsilon$, hacer un poco de trabajo con el teorema del binomio, y la conclusión). Como tal, la multiplicación de los dos da un no-resultado negativo y hemos terminado.

Para el segundo caso nos fijamos en $0\le a<1$. Está claro que $a-1$ es negativo, pero en el caso de $a^{10}-1$ es un poco más complicado. La cosa clave a tener en cuenta aquí es que el $a^n<a$ positivos $n>1$$0<a<1$. Piénsalo de esta manera: cualquier número entre el $0$ $1$ puede ser escrito como una fracción $\frac{1}{k}$ algunos $k>1$, y así multiplicar este número por sí mismo, hace que el denominador más grande y más grande y por lo tanto hace que la fracción más pequeña y más pequeña como un todo. Como resultado de esto, $a^{10}<a$ aquí y por lo tanto $a^{10}-1 < a-1<0$. Debido a que ambos términos son negativos, llegamos a la conclusión de que su producto debe ser positivo, y hemos terminado.

Answer 4

Para todos los$a>0$ vemos que$\left(a^{10},1\right)$ y$\left(a,1\right)$ son los mismos pedidos.

Por lo tanto, por reorganización$$a^{10}\cdot a+1\cdot1\geq a^{10}\cdot1+1\cdot a$ $ y hemos terminado!