¿Qué es una estructura geométrica?

Question

Todo libro elemental de álgebra abstracta suele comenzar dando una definición de las estructuras algebraicas; en general, una o varias funciones sobre el producto cartesiano de un conjunto puntual al conjunto. Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe alguna propiedad que unifique diferentes estructuras geométricas como la topología(la considero una estructura geométrica), la estructura diferencial, la estructura de incidencia, etc.? ¿Se puede decir que una estructura geométrica sobre un conjunto implica de un modo u otro a un subconjunto de su conjunto de potencias?

Answer 1

Creo que estás buscando en un lugar equivocado. La geometría y la topología están relacionadas, pero son campos diferentes de las matemáticas. Lo mismo ocurre con el análisis, que intentas poner bajo el mismo paraguas. Puede que al final encuentres una definición lo suficientemente amplia como para abarcar los tres campos, pero entonces abarcará tantas cosas de las matemáticas que resultará inútil.

He aquí algunas nociones de estructuras geométricas (en variedades lisas) que la gente que trabaja en geometría y topología utiliza realmente y con bastante éxito. Esta lista no responde a su pregunta, pero esperamos que sea útil (para alguien).

1. Estructura geométrica (en el sentido de Cartan, creo). Si no recuerdo mal, se tratan en detalle en el libro de Kobayashi y Nomizu "Foundations of Differential Geometry". Sea $M$ sea una variedad lisa. Entonces la estructura geométrica de $M$ es una reducción del grupo estructural del haz de armazones de $M$ de $G=GL(n, {\mathbb R})$ a un determinado subgrupo $H<G$ . Por ejemplo, una métrica riemanniana es una reducción al subgrupo ortogonal. Una estructura casi compleja es una reducción al subgrupo $Gl(n,C)$ .

2. Estructura geométrica en el sentido de Ehresmann (véase aquí ), o un $(X,G)$ -Estructura. Sea $X$ ser un $n$ -y $G$ un grupo (o pseudogrupo) de transformaciones de $X$ . Se suele suponer que $G$ actúa transitiva y real-analíticamente, pero ignoremos esto. Entonces un $(X,G)$ -estructura en un $n$ -dimensional $M$ es un atlas sobre $M$ con valores en $X$ y mapas de transición iguales a restricciones de elementos de $G$ . Así aparecen, por ejemplo, la estructura compleja, la estructura simpléctica, la estructura afín plana, la estructura hiperbólica, etc. Esta noción se ha ampliado con éxito para abarcar espacios que no son variedades, en los que se relaja la suposición de que las gráficas se definen en subconjuntos abiertos: Estas extensiones aparecen en geometría algebraica y teoría de edificios.

3. Existe una importante variación de estos conceptos debida a Gromov, denominada estructuras geométricas rígidas ver:

Gromov, Michael Grupos de transformaciones rígidas, Geometría diferencial, Colloq. Geom. Física, París/Fr. 1986, Trav. Cours 33, 65-139 (1988). ZBL0652.53023 .

Quiroga-Barranco, R.; Candel, A. , Estructuras geométricas rígidas y de tipo finito Geom. Dedicata 106, 123-143 (2004). ZBL1081.53027 .

An, Jinpeng , Estructuras geométricas rígidas, acciones isométricas y cocientes algebraicos Geom. Dedicata 157, 153-185 (2012). ZBL1286.57032 .

y

Feres, Renato Estructuras geométricas rígidas y acciones de grupos de Lie semisimples, Foulon, Patrick (ed.), Rigidez, grupo fundamental y dinámica. París: Société Mathématique de France (ISBN 2-85629-134-1/pbk). Panor. Synth. 13, 121-167 (2002). ZBL1058.53037 .

Answer 2

Se sabe que, para un espacio topológico (compacto), las funciones continuas en $\mathbb{C}$ caracterizan la topología del espacio. Por lo que sé, afirmaciones similares son válidas para las variedades suaves (utilizando funciones suaves) y las variedades algebraicas (utilizando polinomios). Así que una posible respuesta es que una estructura geométrica es un álgebra de funciones en su espacio.