Inmersión holomórfica

Question

¿Es posible obtener una forma de inmersión holomórfica$\mathbb{C}$ a$\hat{\mathbb{C}}$ que es supuesta?

Aquí, la inmersión significa que$f'(z)\neq 0$ cuando$f(z)$ es finito y${\left(\frac 1f\right)}'(z)\not=0$ cuando$f(z)=\infty$. Por supuesto, si muestra que$f$ es una cobertura, obtiene una contradicción, pero no logra demostrarlo.

Answer 1

De hecho, es imposible, ya que tal inmersión sería inyectiva y, por lo tanto, un homeomorfismo, que es claramente imposible. Para probar la inyectividad, consideremos$A=\cup_{z\in \hat {\mathbb{C}}} \{x \hbox { such that } f(x)=z \hbox{ and with the smallest module} \}$ si hay dos$x$ con el mismo módulo y la misma imagen en$f$, elegimos el que tiene la parte real más pequeña. Luego, mostramos fácilmente que este conjunto está abierto y cerrado y, por lo tanto, igual a$\mathbb{C}$ que logra la prueba.