¿Cómo calcular el área de un triángulo mediante la suma de rectángulos internos?

Question

Para una velocidad constante, uno podría demostrar directamente que el área de un rectángulo cuya longitud es el tiempo recorrido y la altura es la velocidad, es en realidad el desplazamiento.

Me gustaría extender la misma lógica de área para la aceleración constante. Sin embargo, para probar que el área del triángulo (como es un camino lineal debido a la velocidad constante creciente) es el desplazamiento, necesito demostrar que la suma de los rectángulos más pequeños contenidos en ellos se suman al área del triángulo (cada rectángulo es un desplazamiento en un período de tiempo, por lo que al sumarlos todos se obtiene el desplazamiento total).

Pero no pude demostrar que el área de estos rectángulos se suma al triángulo ya que no pude conectarlo con las fórmulas de suma e integración. ¿Puede alguien por favor ayudarme a demostrar el área del triángulo a través de la suma y luego la integración para poder conectar todos los puntos?

Answer 1

Puedes escribirlo como una suma, dividiéndolo en cantidades iguales de rectángulos:

$$\sum_{i=1}^n A_i$$

Donde $A_i$ denota el área del $i$-ésimo rectángulo. Y el siguiente paso es intentar crear una cantidad infinita de rectángulos para darnos, en esencia, el área bajo la gráfica:

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n A_i$$

Y para encontrar $A_i$ o el área de cada rectángulo, multiplicamos el ancho y la altura de cada rectángulo. La altura sería la altura de la gráfica en cada subintervalo $i$ (por lo tanto $X_{ti}$ en tu ilustración), y el ancho de cada uno sería $t_n-t_0$ dividido por $n$ subintervalos. Esto nos deja con:

$$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n X_{ti}\left({t_n-t_0 \over n}\right)$$

Puedes notar que esto está en forma de una suma de Riemann infinita, que puede reescribirse como una integral:

$$\int_{t_0}^{t_n} f(x)\,\mathrm dx$$

Donde $f(x)$ denota la gráfica de la velocidad. Y si quieres ir más lejos y derivar la fórmula para un triángulo $\frac 12 bh$ a través de esta integral, puedes hacerlo así. Supongamos que tienes una gráfica de velocidad lineal, con pendiente $\lambda$. Eso significa:

$$f(x)=\lambda x \quad \lambda = {f(t_n)-f(t_0)\over t_n - t_0}$$ $$\begin{align}\int_{t_0}^{t_n} f(x) \,\mathrm dx &= \int_{t_0}^{t_n} \lambda x \,\mathrm dx \\ &= \frac 12 \lambda x^2 \Big|^{x=t_n}_{x=t_0} \\ &= \frac 12 \cdot {f(t_n)-f(t_0)\over t_n-t_0} \cdot \left({t_n}^2 - {t_0}^2\right) \\ \end{align}$$

Dado que en este caso $t_0=f(t_0)=0$, podemos simplificar a esto:

$$\begin{align} \int_{t_0}^{t_n} f(x) \,\mathrm dx &= \frac 12 \cdot {f(t_n)\over t_n} \cdot {t_n}^2 \\ &= \frac 12 \cdot f(t_n) \cdot {t_n} \end{align}$$

Que es $\frac 12 bh$.