La diferenciabilidad de una función escalar de dos variables? (problemas con Stewart definición)

Question

Me siento incómodo con la transición de Stewart, Cálculo de texto de la diferenciabilidad para funciones de 1 variable para la diferenciabilidad de funciones de 2 variables. Es decir, Stewart da la siguiente definición:

Una función de $f(x,y)$ es diferenciable en a $(a,b)$ si: $f(a+\Delta x, b+ \Delta y)-f(a,b)= f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y + \epsilon_1\Delta x + \epsilon_2\Delta y$

y $\epsilon_1,\epsilon_2\rightarrow 0$ $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$

(Nota: más adelante se demuestra que esto va a seguir si las derivadas parciales existen y son continuas cerca de (a,b), y estoy bien con esta definición).

Lo primero que me molestaba era que no me acordaba de que el aprendizaje de esta definición. Así que me pasé un rato tratando de entender esto. Por otra parte, los únicos ejemplos que he encontrado para motivar la necesidad de esta definición son tales que f es $\textit{not}$ continua en el punto en cuestión.

(es decir, considere la función f:=$\frac{xy}{x^2+y^2}$ $(x,y)!=(0,0)$ $(0,0)$ $(x,y)=(0,0)$ evaluado en $(0,0)$, f_x y f_y se definen en$(0,0)$, pero f no es continua allí)

Pero aquí es mi pelea, no creo que esta es una extensión natural de la 1d caso. En 1d, los derivados existentes, implica que la función es continua. En 2 dimensiones $f_x, f_y$ existente no implica nada acerca de la continuidad de f. Así que mi intuición sería que extender la definición debemos decir $f_x,f_y$ existen y f es continua en el punto correspondiente.

Esto parece bonito y simple, y no puedo imaginar por qué Stewart iba a ir con el torpe definición dada al principio de este post si este es realmente el caso. Así que me parece que debería estar equivocado. Si estoy, me puede dar un ejemplo de una función f que es continua en a $(a,b)$ $f_x$ $f_y$ se definen en $(a,b)$ y no es derivable?

Además, tengo un esbozo de una prueba en mi cabeza de por qué debe ser cierto, la definición de derivada direccional da

$D_{\bf u}f(a,b) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{ f(a+h\Delta x,b+h\Delta y) - f(a,b)}{h}$

pero se expresa como un gradiente implica

$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{ f(a+h\Delta x,b+h\Delta y) - f(a,b)}{h} = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y$

Pero para que este límite de ser cierto, se parece a la original torpe definición debe seguir. Que es

$\frac{ f(a+h\Delta x,b+h\Delta y) - f(a,b)}{h} = f_x(a,b)\Delta x + f_y(a,b)\Delta y$

lo que implica

$f(a+h\Delta x,b+h\Delta y) - f(a,b) = f_x(a,b)h\Delta x + f_y(a,b)h\Delta y$

incluso sin la necesidad de $\epsilon_1$ $\epsilon_2$

$***\textit{edit}***$

zhw. dio un buen contador de ejemplo a continuación. Sin embargo, me gustaría ahora alterar mis preguntas.

1) una definición alternativa, que todas las derivadas direccionales existen y f es continua en un punto?

y o

2) ¿cómo puedo extender mi enfoque original y ahora dicen que f es continua en un barrio de $(a,b)$ $f_x(a,b),f_y(a,b)$ existen? Me podrían dar un contraejemplo ahora?

***$\textit{edit 2}$****

zhw. derribó la pregunta 2 de la edición 1 en su respuesta a mi comentario en su respuesta original. Así que ahora me pregunto si

1) una definición alternativa, que todas las derivadas direccionales existen y f es continua en un punto?

Estoy motivado a pedir porque (a) zhw.'s contador de ejemplos, todos tienen algunas derivadas direccionales que no funcionan y (b) mi intento de prueba invocado las derivadas direccionales existente...

Answer 1

Hay funciones para las que todas las derivadas direccionales existen y todavía no son diferenciables. Una búsqueda en la web va a mostrar varios ejemplos como este, en el que no sólo todos ellos existen, pero son iguales. De no ser diferenciable porque todos los caminos deben ser considerados, no sólo las líneas rectas. Que requieren continuidad como bien probable que lo hace el truco, pero para mí que parece como el uso de una más grande y más grande de martillo para hacer frente a cada problema que surge.

Creo que la incomodidad en el texto de la definición proviene de tratamiento de la $x$ $y$ por separado. Si usted formular la definición de la diferenciabilidad en términos de los vectores, no les parece incómodo para mí: Una función de $f:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ es diferenciable en a $\mathbf v\in\mathbb R^m$ si existe un lineal mapa de $L_{\mathbf v}:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ tal que $f(\mathbf v+\mathbf h) = f(\mathbf v)+L_{\mathbf v}(\mathbf h)+o(\mathbf h)$. Si un mapa existe, no es difícil mostrar que es único. Este lineales mapa es el diferencial de $f$$\mathbf v$, usualmente denotado por $\mathrm df_{\mathbf v}$ o, simplemente,$\mathrm df$. Esta captura la idea esencial es que un derivado/diferencial es la mejor aproximación lineal a la que el cambio en el valor de la función cerca de un punto dado.

Tenga en cuenta que cuando se $f:\mathbb R\to\mathbb R$ esta definición se reduce a la de la derivada de una escuela elemental de cálculo (en una dimensión lineal mapa es sólo la multiplicación por un escalar). Además, el gradiente, la derivada direccional, &c pueden ser definidos en términos de este diferencial.

Answer 2

Definir $f$ $0$ sobre los ejes, y $f(x,y) = \sqrt { x^2+y^2}$ en otros lugares. A continuación, $f$ es continua en a $(0,0),$ $\partial f/\partial x (0,0) = 0 = \partial f/\partial y (0,0).$ Supongamos $f$ es diferenciable en a $(0,0).$ Comprobar que la definición sería entonces el rendimiento de $f(x,x)=o(x)$ $x\to 0.$ Pero $f(x,x) = \sqrt 2 |x|,$ contradicción, mostrando el $f$ no es diferenciable en a $(0,0).$