"Cuantificar" sobre las propiedades y las "operaciones" en ZFC y recursión transfinita: aclarando la confusión

Question

En el libro "Introducción a la Teoría de conjuntos" por Hrbacek y Jech, existe un concepto de una operación definida por un tipo especial de fomula, o una propiedad.

Dada una propiedad $P(x,y)$ tal que $\forall x \exists! y: P(x,y)$ sostiene, uno puede definido una "operación" $G$ por la configuración de $\forall x: G(x) = y \Leftrightarrow P(x,y)$ tiene

Esto es realmente una informal concepto, tratando de formalizar la noción de una función entre las clases en ZFC, donde todos los objetos son conjuntos, así que las "clases" no existen. Es fácil extender esta "definición" para un caso general de una fórmula arbitraria muchos (gratis) variables:

Dada una propiedad $\phi(x,y,w_1,...,w_n)$ tal que $\forall x,w_1,...,w_n \exists!y: \phi(x,y,w_1,...,w_n)$ mantiene, podemos definir una operación $G$ cualquier $w_1, ..., w_n$ tal que $G(x) = y \Leftrightarrow \phi(x,y,w_1,...,w_n)$ mantiene.

Obviamente, dado un conjunto $A$, podemos definir una restricción de $G$ como una función de $G|_{A}$ $A$ mediante el axioma esquema de reemplazo: vamos a $Y = \{ G(x) \ | \ x \in A \}$, y deje $G|_{A} = \{(x,y) \in A \times Y \ | \ y = G(x) \}$

Hrbacek y Jech utilizar estos conceptos en su versión de la recursión transfinita teorema:

Para cualquier operación $G$ no es una operación $F$: para todos los números ordinales $\alpha$, $F(\alpha) = G(F|_{\alpha})$

Sin embargo, recientemente he escuchado que no se puede cuantificar sobre otra cosa que un conjunto de ZFC (como es de primer orden de la teoría). Debo confesar, sólo tengo una vaga comprensión de esa declaración, pero sospecho que no se puede cuantificar sobre las fórmulas, o de "operaciones". Por lo tanto, la mencionada versión de la recursión transfinita no está bien definida en cuanto a ZFC se refiere.

Sin embargo, el axioma esquema de especificación también es indicado para arbitrario fórmulas/propiedades:

Dada una fórmula $\phi(x,w_1,...,w_n)$, $\forall w_1,...,w_n\forall A\exists B = \{x \ | \ x \in A, \phi(x, w_1,..., w_n) \}$

Agradecería una aclaración de mi confusión respecto a estas dos preguntas:

$(1)$ Podemos cuantificar sobre las fórmulas de ZFC? Es decir, podemos hablar de arbitrario fórmulas tales como "para cada fórmula $\phi$ o "no existe una fórmula $\phi$"?

$(2)$ Es el concepto de una operación en la Hrbacek-Jech está bien definido, y si no, ¿qué es una solución?

Answer 1

No, no podemos cuantificar sobre las fórmulas. Se pueden utilizar algunos trucos (por ejemplo, podríamos cuantificar más de Gödel numeraciones de las fórmulas), pero que no funcionan muy bien. Es por eso que el axioma esquema de esquema, no los axiomas - un "esquema" es un (por lo general infinito) de la colección de axiomas. Por ejemplo, el Axioma Esquema de Especificación que usted ha mencionado debe ser pensado como una infinita colección de axiomas, uno para cada fórmula $\phi$.

El concepto de una operación dada es no bien definido dentro de ZFC - así, por ejemplo, ninguna declaración como "para cada operación $G$..." puede ser un teorema de ZFC. Pero puede ser que para cada fórmula $\phi$, "el tal-y-tal tiene de la operación definida por $\phi$" es un teorema de ZFC. Así, por ejemplo, el teorema de recursión transfinita debe ser pensado como un único teorema de la meta-teoría, pero infinitamente muchos separado teoremas dentro de la teoría de ZFC (uno para cada fórmula $\phi$ definición de una operación).

Answer 2

El punto es que la teoría de conjuntos no ocurre en un vacío. Lo que sucede en el interior de algunos meta-teoría, y dentro de uno, el cual es adecuado para hacer las cosas como la inducción y la aplicación de la deducción de reglas.

Nosotros, como los matemáticos, no están sujetos dentro de un sistema. Podemos—como podemos entender las sutilezas y diferencias de operar dentro de la teoría, la meta-teoría, el meta-meta-teoría, y así sucesivamente. Estas cosas sólo dependen de nuestra elección de la configuración. Y la única salvedad es que para entender completamente lo que se puede hacer en la teoría, y lo que es necesario ir a la meta-teoría.

La cuantificación de los más fórmulas, es algo que no puede ser hecho en la teoría.^(*) Pero se puede hacer en la meta-teoría. Lo que esto significa, por ejemplo, cuando hablamos de la Sustitución y el Subconjunto de los esquemas, es que tenemos un modelo que tiene un parámetro, y el axioma ve "el mismo", excepto que variar el parámetro sobre todas las instancias posibles. Esto usualmente resulta en una infinita lista de axiomas, pero uno que se puede reconocer a través de algoritmos. Que es importante para el desarrollo de una prueba de verificación del proceso.

Lo mismo pasa aquí. Cuando decimos que por cada $G$ hay algo de $F$, en realidad nos indica una infinidad de teoremas, pero tenemos suerte de decir que "Todas estas pruebas tienen el mismo aspecto, módulo del hecho de que las fórmulas para $G$ son diferentes". O más bien, lo que queremos demostrar es que "dada una fórmula que seguramente define una operación, existe un algoritmo para escribir una fórmula para otra operación con tal y tal comprobable propiedades".

---

_{(*) No voy a hacerlo más confuso hablando sobre delimitada la verdad de los predicados, estas vez hasta más tarde, pero primero sería una buena idea para aprender sobre el teorema de la incompletitud en profundidad, ya que podría ayudar a paliar algunas de las dificultades conceptuales.}