Integrales de funciones con factores como la $\sqrt{a^2-x^2}$

Question

A la hora de resolver integrales que contienen factores de la forma $\sqrt{a^2 - x^2}$ es típico hacer la sustitución de $x=a\sin(\theta)$ y, a continuación, utilizar la identidad Pitagórica para simplificar el integrando.

Mi pregunta se refiere a los enfoques de este tipo, pero voy a utilizar el siguiente ejemplo específico como una ilustración $$ \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. $$ Si yo sustituto $x=\sin(\theta)$,$dx=\cos(\theta)d\theta$, y obtener:

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int\frac{\cos(\theta)d\theta}{\sqrt{1-\sin^2(\theta)}}=\int\frac{\cos(\theta)d\theta}{\cos(\theta)}=\int d\theta=\theta+C=\arcsin(x)+C.$$

Si me consulta una tabla de integrales esta es la solución que se dio, y que el enfoque utilizado es el recomendado en los libros de primaria. Pero esto me parece muy preocupante por la siguiente razón:

$\sqrt{\cos^2(\theta)}=|\cos(\theta)|\neq\cos(\theta)$, debido a que la función coseno puede tomar valores negativos. Esto es completamente glosado en la escuela primaria, el cálculo de los textos y vídeos de YouTube que he visto hasta el momento.

Mi conjetura es que, en realidad, el primer paso es malo. En lugar de "hacer la sustitución" $x=\sin(\theta)$, en realidad el sustituto $\theta=\arcsin(x)$ sujeto a la restricción $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$...esto resuelve nuestro problema porque, más que de dominio, $\cos(\theta)\geq 0$.

Es esto correcto? Realmente no entiendo funciones inversas lo suficientemente bien como para estar seguro. La razón por la que no estoy seguro es porque en las explicaciones que he visto en otros lugares, no mencionan esto. Gracias.

Answer 1

No olvides las $+C$, este es un fenómeno que sucede mucho. Lo que están diciendo es, en esencia, que $-\arcsin(x)$ es también la integral. Sin embargo $$-\arcsin x =\arcsin x +\pi$$ and this is absorbed in the $+C$.

Answer 2

Tiene usted toda la razón. De hecho, usted sustituto $x=a\sin\theta$, pero se observa que la $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$ cubre el dominio de la $x$, $(-a,a)$ (a causa de la raíz cuadrada en el numerador). Esto le da a usted $\cos\theta>0$

Answer 3

El primer paso no está mal. Su principal variable $x$ varía en el intervalo de $[-1,1]$. Para cubrir los valores de $\sin(\theta)$ uno puede recoger $\theta$, por ejemplo, entre el $[-\pi/2,\pi/2]$ como lo hizo, y obtener $\arcsin(x)+C$. Si usted escoge otro intervalo, por ejemplo, $[\pi/2,3\pi/2]$ $\cos(\theta)$ va a ser, en efecto, negativo, obtendrá la antiderivada $-\theta+C$, sin embargo, en ese intervalo de $\theta=\pi-\arcsin(x)$, por lo que al final obtendrá la misma positivo $\arcsin$$-\theta+C=\arcsin(x)+C-\pi$.