Es cierto que $\gcd(s(p^k), D(p^k)) = 1$?

Question

Deje $\sigma(x)$ ser la suma de los divisores de un entero positivo $x$.

Definir $$s(x):=\sigma(x)-x$$ para ser la suma de la alícuota divisores de $x$, y definir $$D(x):=2x-\sigma(x)$$ para ser la deficiencia de $x$.

Ahora, vamos a $p$ ser un número primo, y deje $k$ ser un entero positivo.

Aquí está mi pregunta:

Es cierto que $\gcd(s(p^k), D(p^k)) = 1$?

MI INTENTO

Si $k=1$, a continuación, $s(p^k)=s(p)=\sigma(p)-p=(p+1)-p=1$, por lo que claramente $$\gcd(s(p), D(p))=1.$$

Ahora vamos a $k>1$. Obtenemos $$D(p^k) = 2p^k - \sigma(p^k) = p^k - \bigg(\sigma(p^k) - p^k\bigg) = p^k - s(p^k)$$ de manera que obtenemos $$\gcd(s(p^k), D(p^k)) = \gcd(s(p^k), p^k - s(p^k)) = \gcd(s(p^k), p^k)$$ $$= \gcd(\sigma(p^k) - p^k, p^k) = \gcd(\sigma(p^k), p^k) = 1.$$

Tenga en cuenta que una prueba de la afirmación de que $\gcd(\sigma(p^k),p^k)=1$ es material estándar en los libros de texto (primaria) de la teoría de números. Así que, esencialmente, asumiré esta afirmación sin pruebas.

Es esto una prueba de la correcta?

Answer 1

Como ya se mencionó en el comentario, el único primer posiblemente, tanto en la división $s(p^k)$ e $D(p^k)$ es $p$.

Por lo tanto permanece para mostrar que $s(p^k)$ no es divisible por $p$.

$s(p^k)$ es la suma de los divisores de a$p^k$ excepto $p^k$ sí. Todos los divisores excepto $1$ son divisibles por $p$, por lo tanto la suma no puede ser divisible por $p$ (La suma consta de $1$ y en el caso de $k>1$ de otros sumandos divisible por $p$ , en el caso de $k=1$ , la suma es sólo $1$). Esto completa la prueba.