No isomorfos campo extensiones de $\mathbb{Q}$

Question

Estoy teniendo un poco de un problema con la siguiente pregunta:

Muestran que no existen dos polinomios irreducibles $a(x)$ $b(x)$ $\mathbb{Q}[x]$ de los grados 6 y 7, respectivamente, que han isomorfo la división de los campos.

He aquí lo que he pensado hasta ahora.

Deje $\mathbb{K_a}$ $\mathbb{K}_b$ denotar la división de los campos de $a$ $b$ respectivamente. A continuación,$\mathcal{Gal}(\mathbb{K_a}/\mathbb{Q})\leq S_6$$\mathcal{Gal}(\mathbb{K}_b/\mathbb{Q})\leq S_7$.

Ahora, de alguna manera desea utilizar la estructura de $S_6$ $S_7$ a la conclusión, pero no estoy muy seguro de cómo. Alguna idea?

Nota: Esta no es la tarea o el trabajo de clase.

Answer 1

(1) Si $K/F$ es de Galois, a continuación,$[K:F]={\rm Gal}(K/F)$.

(2) Si $K/F$ es la división de campo de la $f\in F[x]$$n=\deg f$, $G={\rm Gal}(K/F)$ permutes las raíces de $f$ $K$ y se determina por la permutación, por lo tanto $G\hookrightarrow S_n$.

(3) Si $K/B/F$ $[K:F]=[K:B][B:F]$ es divisible por $[B:F]$.

(4) Para cualquier irreductible $f\in F[x]$, su ruptura campos de $K/F$ tienen un grado $[K:F]=\deg f$.

La combinación de estos resultados indica que si $a(x),b(x)\in\Bbb Q[x]$ son irreductible de los grados seis y siete años, respectivamente, a continuación, $a(x)$'s división de campo tiene un grado dividiendo $6!$, mientras que de $b(x)$'s división de campo tiene un grado un múltiplo de $7$; por lo tanto, no es posible que sus títulos sean iguales, lo que impide isomorfismo.

Answer 2

Recordemos que podemos construir la división de campo de un polinomio irreducible $p(x)$ colindando raíces de los polinomios de una en una. f $K_0=\mathbb Q \subset K_1 \subset K_2 \subset ... \subset K_n$ es una torre de campos obtenidos por contigua a las raíces de uno por uno, y $K_n$ es la división de campo de la $p(x)$, $[K_n:\mathbb Q]=[K_n:K_{n-1}]\cdot [K_{n-1}:K_{n-2}]\cdots [K_1:K_0].$ Nota también de que $[K_{i+1}:K_i] < [K_1:K_0]$ todos los $i>1$.

La primera extensión de $K_1$, obtenido por contigua a raíz de $p(x)$, es isomorfo a $\mathbb Q[x]/\langle p(x) \rangle.$ La dimensión de esta extensión de más de $\mathbb Q$ es, precisamente,$\deg p$.

¿Ves cómo aplicar esto a acabado tu problema?