Me gustaría probar la siguiente proposición, que se administra como un ejercicio de Hoffman y Kunze:
Si $A$ $2\times 2$ matriz con coeficientes en $\mathbb{C}$, $A$ es similar a una matriz de la forma $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ o a una matriz de la forma $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}$.
Una sugerencia dirige al lector para demostrar que si $N$ es un nilpotent de la matriz (también en $M_{2}(\mathbb{C})$), entonces cualquiera de las $N=0$ o $N$ es similar a $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. He probado esta afirmación (suponiendo que $N \neq 0$ y mostrando que la transformación inducida por la multiplicación por $N$ tiene representación de la matriz de $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ bajo una determinada base).
Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo utilizar este conocimiento para probar la proposición en cuestión. Cualquier paso en la dirección correcta sería apreciada. También, me encantaría ver cualquier otras pruebas de la proposición.
Gracias de antemano!
