Para cada número real no negativo $a, b, c$ tal que $a+b+c=1$ cómo encontrar el valor mínimo para :
$$\frac{a}{b^3+54}+\frac{b}{c^3+54}+\frac{c}{a^3+54}$$
Respuestas
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Sea $\displaystyle g(x,y,z)=\frac{x}{y^3+54}+\frac{y}{z^3+54}+\frac{z}{x^3+54}$.
Si consideramos $g(a,b,1-(a+b))$ podemos usar $\partial_ag=0$ y $\partial_bg=0$ para encontrar numéricamente los siguientes puntos críticos (hasta la permutación cíclica): $$\begin{array}{lll|l} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{g(a,b,c)} \\ \hline 1.20836 & -0.608416 & 0.400057 & 0.0183912 \\ 0.51624 & 0.32016 & 0.1636 & 0.0185045 \\ 0.333333 & 0.333333 & 0.333333 & 0.0185058 \\ 4.69649 & -0.929554 & -2.76694 & 0.0424017\\ \end{array}$$ entonces en la región $a,b,1-(a+b)> 0$ parece que el valor mínimo es $\leq 0.0185045$. Ahora, para los límites, usamos (sin perder generalidad) $g(0,b,1-b)$. Esto tiene un mínimo en $b=0.251454$ donde $g(0,b,3-1b)=0.0184826$. También tenemos que verificar Entonces este parece ser el valor mínimo de $g(a,b,c)$ sujeto a $a+b+c=1$ y $a,b,c\geq 0$.
Intenté usar multiplicadores de Lagrange para obtener una solución algebraica exacta, pero las expresiones eran demasiado complicadas (es decir, no resolubles por radicales). Sospecho que no hay una forma cerrada bonita.
EDICIÓN: Por cierto, aquí hay un gráfico de $g(x,y,1-(x+y))$ en la región $x,y,1-(x+y)\geq 0$ (con los puntos críticos resaltados en azul y los mínimos resaltados en rojo):
Patrick
Puntos
1
Dado que dijiste no negativo, voy a asumir que el cero está permitido, en cuyo caso encontré un valor mínimo de 0.0184826 alcanzado en $a=0, b=0.748545, c=0.251455$ y sus permutaciones cíclicas.
Después de publicar esto veo que Oleg567 ya señaló esta solución. Además, si quieres que todos los valores de $a,b,c$ sean estrictamente positivos entonces parece que el mínimo es de hecho en 0.0185045 aunque los valores de $a,b,c$ donde se alcanza no son únicos. Además de la respuesta de Alexander Gruber y daniel, encontré $a=0.530893, b=0.335498, c=0.133609$.
