el menor valor de: $\frac{a}{b^3+54}+\frac{b}{c^3+54}+\frac{c}{a^3+54}$

Question

Para cada número no negativo $a,b,c$ tal que: $a+b+c=1$ Cómo encontrar el menor valor de:

$$\frac{a}{b^3+54}+\frac{b}{c^3+54}+\frac{c}{a^3+54}$$

Answer 1

Deje $\displaystyle g(x,y,z)=\frac{x}{y^3+54}+\frac{y}{z^3+54}+\frac{z}{x^3+54}$.

Si tenemos en cuenta $g(a,b,1-(a+b))$ podemos usar $\partial_ag=0$ $\partial_bg=0$ numéricamente encontrar los siguientes puntos críticos (hasta permutación cíclica): $$\begin{array}{lll|l} \text{a} & \text{b} & \text{c} & \text{g(a,b,c)} \\ \hline 1.20836 & -0.608416 & 0.400057 & 0.0183912 \\ 0.51624 & 0.32016 & 0.1636 & 0.0185045 \\ 0.333333 & 0.333333 & 0.333333 & 0.0185058 \\ 4.69649 & -0.929554 & -2.76694 & 0.0424017\\ \end{array}$$ así, en la región de $a,b,1-(a+b)> 0$ parece que el valor mínimo es de $\leq 0.0185045$. Ahora, para los límites, utilizar (w.l.o.g) $g(0,b,1-b)$. Esto tiene un mínimo en $b=0.251454$ donde $g(0,b,1-b)=0.0184826$. También tenemos que comprobar Así que este parece ser el valor mínimo de $g(a,b,c)$$a+b+c=1$$a,b,c\geq 0$.

Traté de usar multiplicadores de Lagrange para obtener una exacta algebraicas solución, pero las expresiones eran demasiado complicado (es decir, no resolubles por radicales). Sospecho que no hay bastante cerrados forma de expresión.

EDIT: Por cierto, aquí es un gráfico de $g(x,y,1-(x+y))$ en la región de $x,y,1-(x+y)\geq 0$ (con puntos críticos resaltada en azul y los mínimos resaltada en rojo):

Answer 2

Ya que dijo no negativo, voy a asumir que el cero es permitido en cuyo caso me encontré con un valor mínimo de 0.0184826 logrado en $a=0, b=0.748545, c=0.251455$ hasta sus permutaciones cíclicas.

Después de la publicación de este veo que Oleg567 señaló que esta solución ya. Además, si desea que todos los $a,b,c$ a ser estrictamente positivo, parece que el mínimo es de hecho en 0.0185045 aunque los valores de $a,b,c$ donde se logra no son únicas. Además de Alejandro Gruber y daniel respuesta, me encontré $a=0.530893, b=0.335498, c=0.133609$.