Es $\{(0,0)\}\cup\{(x,\sin{1\over x}):x\in\mathbb{R},x>0\}$ ruta de acceso conectado?

Question

Es $\{(0,0)\cup\{(x,\sin{1\over x}):x\in\mathbb{R},x>0\}$ ruta de acceso conectado?

Creo que es el camino conectado si descuidamos el punto de$(0,0)$ es como podemos definir una función continua fácilmente de $[0,1]$, pero si se incluye el punto de $(0,0)$, ninguna de las funciones continuas parece sería desconectada en $(0,0)$ $\sin{1\over x}$ vibración muy rápida entre el valor de $0,1$ $x$ cerca de$0$ así que para cualquier $\delta$-pelota en el origen, a continuación, elija $\epsilon={1\over2}$, entonces no debe existir $x\in B_{\delta}((0,0))$ donde $\sin{1\over x}>\epsilon$. Es correcto? si no, hay alguna manera puede mostrar más claramente? O cómo presentarlo de una manera mejor?

Answer 1

Supongamos que existe un continuo camino de $\phi:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}^2$ unirse a $(0,0)=\phi(0)$ y cualquier punto en la gráfica de $\sin(\frac{1}{x})$.

Ahora tomar cualquier secuencia $x_n>0$ tal que $x_n\rightarrow 0$. Debido a $\displaystyle\sin(\frac{1}{x_n})=\phi(y_n)$ para algunos secuencia $y_n>0$ tal que $y_n\rightarrow 0$, se puede concluir que $\sin(\frac{1}{x})\rightarrow 0$, que es na absurdo.

Answer 2

De hecho, la prueba es correcta, el gráfico de $X$ de la función de $x \longmapsto \sin(1/x)$ es claramente ruta de acceso conectado, pero si se añade $(0,0)$, ya no es cierto. Además, teniendo en cuenta $\bar{X}$ el cierre de $X$ (en realidad, tenemos $\bar{X}=X \cup I$, donde $I=\{ (0,y), y \in [-1,1]\}$), $\bar{X}$ es un buen ejemplo de un conjunto que está conectado pero no de ruta de acceso conectado.