¿Cómo hacer una el cuantificador universal un cuantificador existencial en múltiples cuantificador declaración?

Question

Así que estoy estudiando para un final - y una de las preguntas de estudio es "Express (como simplemente como puede) cada una de las siguientes frases sin el uso de la cuantificación universal:"

a) (∀x)(∃y)(∀z)[P(x,y,z)]

Y yo estoy atrapado - el libro de texto menciona nada aquí. Al principio pensé que tal vez era un complicado conjunto de negaciones, pero creo que solo me deje con (∃x)(∀y)(∃z)[P(x,y,z)].

La solución para el problema al parecer es (∃x)(∃y)(∃z) P(x,y,z)

Hasta ahora lo más cercano que puedo pensar es ir de

(∀x)(∃y)(∀z)[P(x,y,z)]            (Start)
¬( (∀x)(∃y)(∀z)[P(x,y,z)] )       (Negate the whole thing)
(∃x)(∀y)(∃z)[¬P(x,y,z)]           (Thus swap all quantifiers, negate the inside)
¬( (∃x)(∀y)(∃z)[¬P(x,y,z)] )      (Negate Everything again)              
¬(∃x)(∃y)(¬∃z)[P(x,y,z)]          (Instead of swapping existential quantifiers,
                                    negate them. But we still have no negation on y,
                                    and we had to negate the negation on the inside?)

Answer 1

Tal vez añadiendo muchos más paréntesis tendrá más sentido:

$(\forall x)~(~(\exists y) ~(~(\forall z)~P(x,y,z)~)~)$.

Negar 4 veces; esto es equivalente a no hacer nada a la proposición, por lo que este paso se justifica.

$\neg\neg\neg\neg(~(\forall x)~(~(\exists y) ~(~(\forall z)~P(x,y,z)~)~)~)$.

Tome la primera a la negación dentro de:

$\neg\neg\neg(~(\exists x)~(~(\forall y) ~(~(\exists z)~\neg P(x,y,z)~)~)~)$.

Tome la segunda a la negación en el interior, parada después de haber negado la $\forall y$.

$\neg\neg(~(\forall x)~(~(\exists y) ~(~\neg(\exists z)~\neg P(x,y,z)~)~)~)$.

Tome la tercera negación en el interior, parada después de haber negado la $\forall x$.

$\neg(~(\exists x)~(~\neg(\exists y) ~(~\neg(\exists z)~\neg P(x,y,z)~)~)~)$.

Esta es la respuesta.

El punto es que la negación de una cuantificado declaración como $(\forall x)P(x)$ siempre resulta en una declaración como $(\exists x)\neg P(x)$, incluso si $P(x)$ sí es un cuantificado declaración. Así que no hay diferencia de significado si se te ocurre ir al último nivel de la declaración o no.

Answer 2

Especialmente sabiendo la respuesta, me gustaría tratar de ir hacia atrás para "simplificar" la solución.

$$\neg(\exists x)\neg(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$(\forall x)\neg\neg(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$(\forall x)(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$(\forall x)(\exists y)(\forall z)\neg\neg P(x,y,z)$$ $$(\forall x)(\exists y)(\forall z) P(x,y,z)$$

Ejecute estos pasos hacia atrás y se tiene la solución. Alternativamente, si usted quiere negar en repetidas ocasiones en el exterior y traer las negaciones, puedes hacerlo así:

$$(\forall x)(\exists y)(\forall z) P(x,y,z)$$ $$\neg\neg(\forall x)(\exists y)(\forall z) P(x,y,z)$$ $$\neg(\exists x)(\forall y)(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$(\forall x)(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$\neg\neg(\forall x)(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$ $$\neg(\exists x)\neg(\exists y)\neg(\exists z)\neg P(x,y,z)$$