Existe un subconjunto $A$ de los recíprocos de los números naturales $\{\frac{1}{n} \ |\ n \in \mathbb N\}$ que cualquier número real $x$ en el intervalo de $[0,1]$ puede ser expresado como la suma de los miembros de algún subconjunto $B_x$ $A$ de tal manera que todos los elementos de a $B_x$ son distintos, es decir, sin repetición de términos en la suma. Llamar a este como el de la propiedad.
Un ejemplo de un conjunto $A$ tener la propiedad de ser los inversos de los poderes de $2$. Esto es fácil de ver, como cada número $x$ en el intervalo de $[0,1]$ puede ser expresado en base dos, utilizando el poder de $2$ sólo una vez, y estos números forman el conjunto $B_x$.
Así el conjunto de los recíprocos de cualquier subconjunto de a $\mathbb N$, que tiene los poderes de $2$ como un subconjunto, también tiene la propiedad.
También hay subconjuntos de los recíprocos de los números naturales que no tienen la propiedad. Tomar los inversos de las facultades de $3$ como un ejemplo. Si tratamos de expresar $\frac{1}{5}$ de esta manera, observamos que $$\sum _{n=2}^{\infty } \frac{1}{3^n} = \frac{1}{6}<\frac{1}{5}$$ and $$\frac{1}{3}>\frac{1}{5}.$$ llegamos a la conclusión de que no podemos evitar la repetición de un término.
Pregunta 1) Considerar los recíprocos de los números primos. ¿Este conjunto tiene la propiedad?
Pregunta 2) Claramente la suma sobre todos los miembros de $A$ tiene que ser mayor o igual a $1$ para el conjunto de $A$ a la propiedad. Es esto suficiente? ¿Cuáles son las condiciones necesarias y suficientes para un conjunto a tiene la propiedad?
