mostrando todos los ideales de algunos cociente del anillo es la directora.

Question

Deje $\mathbb F$ ser un campo y $A=\mathbb F[t]/(t^2)$ donde $(t^2)$ es el ideal de la $\mathbb F[t]$ (Este cociente del anillo no es una integral de dominio como usted sabe), y escribo un elemento de $A$ $[at+b]$ donde $[at+b]$ denota $at+b+(t^2)$.

Mi objetivo es mostrar que todos los ideales $I$ $A$ es un director ideal.

Creo, podemos dividir el problema por $4$ de los casos.

1. $I=([0])$
2. $I$ (ideal) tiene un elemento de la forma $[at]$, $a \neq 0$: a Continuación, $I=([at])$
3. $I$ tiene un elemento de la forma $[b]$, $b\neq 0$: a Continuación, para cada elemento $[ct+d] \in A$, $[ct+d]=[b][b^{-1}(ct+d)]$. Por lo tanto, $A=I$.
4. $I$ tiene un elemento de la forma $[at+b]$, $a, b \neq 0$: a Continuación, para cada elemento $[ct+d] \in A$, $[ct+d]=[at+b][mt+n]$ donde $n=b^{-1}d$, e $m=b^{-1}(c-an)$. Por lo tanto $A=I$.

Así que, supongo que eso $A$ sólo ha $3$ ideales, a saber,, $([0])$, $([at])$, $A$. Es mi respuesta es correcta?

Answer 1

Que son, básicamente, a la derecha; su descripción sólo necesita un poco de ajuste fino para quitar algo de desorden.

Si usted sabe lo que es un espacio vectorial, entonces, la siguiente información puede ser un más compacto respuesta:

$k[t]/(t^2)$ es un espacio vectorial de dimensión dos más de $k$, $\{1,t\}$ siendo una base. Por lo tanto, se puede comprobar que el $(0),\ (t),\ (1)$ son los únicos ideales.

Answer 2

La respuesta final es correcto. Este anillo es $A$ se conoce como el anillo de doble de los números de más de $\mathbb F$.

En sus puntos 1.-4., usted necesita ser un poco más cuidadoso. Por ejemplo, en 2, usted necesita la condición adicional de que $I$ no contiene un elemento de la forma $[ax + b]$$b\neq 0$. (Porque, a continuación,$I = A$.)