CDF derivado de pdf? ¿Cómo funciona esto?

Question

Para una variable aleatoria $X$ si tenemos un pdf $f(x)$, entonces la Variable Aleatoria Continua es

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt$$ La próxima $F'(x) = \frac{d}{dx}F(x)= f(x)$

No sigo esta, $$\frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx} \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{\partial}{\partial x} f(t)dt $$

No veo la manera de que el último paso de los rendimientos de $f(x)$

Answer 1

Esto es sólo el Teorema Fundamental del Cálculo.

Un PDF (de forma univariante de distribución) es una función definida de tal manera que es 1.) en todas partes no-negativos y 2.) integra a más de 1 $\Bbb R$.

Si definimos $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\ dt$, luego el Teorema Fundamental del Cálculo da el resultado deseado.

Esta función, $F(x)$, que se llama la "función de distribución acumulativa," o CDF. Se define de esta manera, por lo que la relación entre el CDF y el PDF no es casual, es por diseño.

Tenga en cuenta que el último paso es incorrecto: $x$ es la variable independiente de la derivada ahí, y es también el límite superior de la integral (de modo que la integral resultante será una función en términos de $x$). Usted no puede mover el $d/dx$ dentro de la integral.

Answer 2

Usted puede ver esto por la diferenciación bajo el signo integral, que se sigue del teorema fundamental del cálculo:

$$ \frac{d}{dx} F(x) =\lim_{c\-\infty} \frac{d}{dx} \int^{x}_{c} f(t) dt = f(x).1 -\lim_{c\-\infty} f(c).\frac{dc}{dx} + \lim_{c\-\infty}\int^{x}_{c} \frac{d}{dx} f(t) dt $$

Desde $c\to-\infty$ es una constante, el segundo término desaparece, y desde $f$ es una función de $t$, $\frac{d}{dx} f(t)$ también desaparece.

Answer 3

http://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_calculus leer la 1ª parte de la prueba, entonces se puede entender, pero que se supone que saben decir teorema del valor y squezee teorema. espero que ayude.