Derivada en 0

Question

Soy un estudiante de secundaria y no aprendemos matemáticas en inglés. Así que por favor discúlpenme por mi de Matemáticas en inglés. Estoy haciendo un ejercicio y no puedo responder a su pregunta final. Me pueden ayudar? Gracias!

Deje $f$ una función derivable en a$\mathbb{R}$, lo cual la derivada es continua en a $\mathbb{R}$.

Deje $g$ una función definida en el $\mathbb{R}$ por:

$\forall x\in\mathbb{R}^*,\,\,g(x)=\dfrac{1}{2x}\int_{-x}^xf(t)\,dt$ $g(0)=f(0)$.

1 - Demostrar que $g$ es continua en a $0$.

2 - Para todos los $x\ne 0$ calcular el $g'(x)$ según $f(x)$$g(x)$.

Yo answerd ambas preguntas. Para la seconde que yo he encontrado: $$\forall x\in\mathbb{R}^*,\,\,g'(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)-2g(x)}{2x}$$

Aquí está la última pregunta.

3 - Demostrar que $g$ es diferenciable en a $0$ y $g'(0)=0$.

Gracias.

edit: eso es lo Que he intentado:

$\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\frac{F(x)}{x}-f(0)}{x}+\dfrac{\frac{F(-x)}{-x}-f(0)}{x}\right) $

donde $F(x)=\int_0^xf(t)dt$

Answer 1

Tenemos que

$$g'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\int_{-x}^x f(t)dt-2f(0)x}{2x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{4x}$$ $$=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)-f'(-x)}{4}=\frac{f'(0)-f'(0)}{4}=0,$$

donde hemos aplicado la regla de L'Hospital de la segunda y tercera igualdades.

Una aclaración

Note que por el teorema fundamental del cálculo $F(x)=\int_0^xf(t)dt$ es diferenciable en cualquier punto donde $f$ es continua y $F'(x)=f(x).$ $\int_{-x}^xf(t)dt=F(x)-F(-x)$ es diferenciable en cualquier punto, y lo mismo sucede a $\int_{-x}^xf(t)dt-2f(0)x.$ Por esta razón podemos aplicar L'Hospital de la regla en la segunda igualdad.