¿Cuál es la fibra de un mapa etale sobre un punto?

Question

Dado un campo $K$ , $K$ -esquemas $X$ y $Y$ , un mapa etéreo $f:X\to Y$ , $x\in X$ un punto del espacio topológico a $X$ y $y:=f(x)\in Y$ un punto del espacio topológico a $Y$ . ¿Qué es el cambio de base? $X\times_Y Spec(k(y))$ de $f$ a lo largo de $g:Spec(k(y))\to Y$ ?

Creo que es una unión disjunta finita $\coprod_n Spec(K_n)$ para los campos $K_n$ todas las extensiones (¿algebraicas?) de $K$ . La unión está indexada por el número de preimágenes de $y$ para el mapa del espacio topológico $f$ . ¿Es esto cierto?

Si $g$ es un punto geométrico ( $k(y)=\bar K$ ) de $Y$ ¿es cierto que puedo encontrar $g':Spec(k(y))\to X$ con $g=f\circ g'$ ?

Answer 1

Un plan $S$ sobre un campo $k$ es etale si y sólo si es unramificado si y sólo si es una unión disjunta de espectros de extensiones separables finitas de $k$ .

Por lo tanto, si $X\rightarrow Y$ es un morfismo etale, entonces como esta es una propiedad preservada por el cambio de base, para cualquier $y\in Y$ , $X_y\rightarrow\mathrm{Spec}(k(y))$ es etale, así que $X_y$ es una unión disjunta de espectros de extensiones separables finitas de $k(y)$ (los campos de residuos de los distintos puntos de la fibra).

Su pregunta sobre los puntos geométricos equivale a lo siguiente: dado un campo algebraicamente cerrado $K$ Un punto de $y\in Y$ y una inyección $k(y)\hookrightarrow K$ ¿existe un punto $x\in X$ con $f(x)=y$ y una inyección $k(x)\hookrightarrow K$ tal que $k(y)\rightarrow k(x)\hookrightarrow K$ ¿es la inyección administrada? Suponiendo que $y$ es en realidad de la forma $f(x)$ como tú lo has hecho, $f$ le da una inyección $k(y)\rightarrow k(x)$ y usted se pregunta si existe un $k(y)$ -inyección $k(x)\hookrightarrow K$ . Desde $k(x)/k(y)$ es finitamente separable y $K$ es algebraicamente cerrado, la respuesta es sí.