Encuentra todos los valores posibles que puede tomar la siguiente expresión $\sqrt{x^2-7x+6}$

Question

La expresión dada es:

$\sqrt{x^2-7x+6}$ .

Ahora primero encuentro valores de x para los que esta es una pregunta válida poniendo chico dentro de raíz cuadrada igual a mayor que 0. Obtengo $x \in[-\infty,1]\cup[6,\infty] $ . Ahora he completado el cuadrado y tengo $$\sqrt{(x-\frac{7}{2})^2-\frac{25}{4}}$$ . Ahora desde aquí he calculado el rango como x $\in$ $[0,\infty]$ . Ahora he tomado la intersección de los valores obtenidos y tengo la respuesta a ser $[0,1]\cup[6,\infty]$ . pero mi libro de texto dice que la respuesta debe ser $[0,\infty]$ . ¿Dónde está mi error?

Gracias

Answer 1

¿Quieres ver cuáles son los números reales $c$ tal que la ecuación $$ \sqrt{x^2-7x+6}=c $$ tiene solución. Como observas, $c\ge0$ por definición de raíz cuadrada. Ahora podemos elevar al cuadrado, obteniendo $x^2-7x+6=c^2$ o $$ x^2-7x+6-c^2=0 $$ que tiene solución si y sólo si su discriminante es $\ge0$ . Esto equivale a $$ 49-4(6-c^2)\ge0 $$ que es cierto para cada $c$ . Así que el rango es $[0,\infty)$ .

Con la terminación del cuadrado es lo mismo: la ecuación es $$ \left(x-\frac{7}{2}\right)^{\!2}=c^2+\frac{25}{4} $$ que es resoluble para cada $c$ .

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Tienes razón en que la función sólo está definida sobre $(-\infty,1]\cup[6,\infty)$ pero esto no afecta al alcance.

Answer 2

Tu error es tomar la intersección del dominio y el rango, lo cual es un disparate.

Es evidente que el polinomio bajo el radical puede alcanzar $0$ (para $x=1$ ) y llega hasta el infinito. Por lo tanto

$$[0,\infty).$$