Los números de Stirling del segundo tipo ${n\brace k}$ el número de distribuciones de $n$ distintas bolas en $k$ no vacío, indistinguishible cajas.
Estos números tienen además otros interesantes representaciones a través de la generación de las funciones de la "vertical" GF \begin{align*} \sum_{n=k}^\infty {n\brace k}\frac{t^n}{n!}=\frac{1}{k!}(e^t-1)^k\qquad\qquad k\geq 0 \end{align*} Correspondiente bivariante GF es \begin{align*} \sum_{k=0}^\infty\sum_{n=k}^\infty {n\brace k}\frac{t^n}{n!}u^k=\exp(u(e^t-1))\qquad\qquad \end{align*}
Por otro lado, es bien conocida la relación de recurrencia \begin{align*} {n\brace k}&=k{n-1\brace k}+{n-1\brace k-1}\qquad\qquad n,k\geq 1\tag{1}\\ {n\brace 0}&={0\brace k}=0\qquad\text{except }{0\brace 0}=1 \end{align*}
Nota: Un tratamiento completo de los números de Stirling se puede encontrar por ejemplo, en el capítulo 5 de Avanzada de la Combinatoria por L. Comtet que también proporciona dos pruebas de la relación de recurrencia, una combinatoria uno y algebraica de una base a otra generación de función.
Dado que la información de la relación de recurrencia (1) también está codificada en la generación de funciones se indicó anteriormente, he tratado de derivar a partir de ellos. Sin embargo, no fue exitosa hasta ahora.
Por lo tanto, cualquier ayuda para derivar la relación de recurrencia de una de las funciones de generación anterior es altamente apreciado.
