Para probar: $n! > (n/e)^n$
La pregunta parece fácil pero no es; ¿alguien para él?
Respuestas
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Aquí es una sugerencia. Usted asume que $n!>\left(\frac{n}{e}\right)^n$. Ahora usted debe mostrarlo para n + 1, es decir, debe mostrar que $(n+1)! > \left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$.
Se puede escribir
\begin{equation} (n+1)! > (n+1) \left(\frac{n}{e}\right)^n = (n+1)\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \left(\frac{(n+1)^n}{e^n}\right) \end{equation}
¿Puede resolverlo desde aquí?
larryb82
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158
Teniendo en cuenta la serie de energía exponencial observamos que $x>0$, $$ e^x > \frac{x^n}{n!} $$ Now setting $x = n $ we obtain $% $ $e^n > \frac{n^n}{n!} $que acomoda a precisamente lo que se desea. Debo señalar que primero había aprendido esta prueba increíblemente corta y simple de este hecho de los puestos de Qiaochu Yuan en este sitio web, y a su vez la atribuyó a este artículo escrito por Terence Tao.
zyx
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20965
Esta es la "fácil" parte de la fórmula de Stirling -- el crudo orden de magnitud de la estimación muestran que una enorme $n!$ es, sin la $\sqrt{2 \pi n}$ corrección que es más difícil de derivar.
Tomando logaritmos, usted está pidiendo $\log(n!) > n (\log n - 1)$. La última es la integral indefinida de $\log(n)$. En un dibujo, esto se deduce de la $\log(n)$ ser una función creciente. La desigualdad se compara el área bajo la gráfica de la función para el área de rectángulos debajo de la gráfica. Una mayor desigualdad pueden ser obtenidos mediante trapecios y la convexidad de $\log(x)$. Creo que usted puede conseguir la $\sqrt{n}$ factor de esta manera, pero no exactamente, la constante $\sqrt{2 \pi}$.
Michael Prescott
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296
En un intento de demostrarlo por inducción, se llega a una etapa donde hay que demostrar %#% $ #%
Considerar el término de $$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e.$ de la expansión binomial de $i^\text{th}$: %#% $ #% esto es es fácilmente demostrable que el término de $(1+1/n)^n$ $$\frac{n!}{(n-i)! i!} \cdot \frac{1}{n^i} < \frac{1}{i!}.$ $
So, $i^\text{th}$$
