El total La densidad de carga, que es la suma de la densidad de carga libre y la densidad de carga ligada, es constante en toda la esfera, pero las densidades de carga libre y ligada difieren en la mitad superior e inferior de la esfera.
Tu pregunta sobre la simetría de la densidad de carga total se puede responder fácilmente, suponiendo que conoces la simetría del campo eléctrico. (tu razonamiento sobre su simetría esférica es correcto):
( $E_1$ significa campo eléctrico en la primera región y $E_2$ el campo de la segunda región)
$$\mathbf{E}_1=\mathbf{E}_2 =\mathbf{E}_{out} \tag{as you stated}$$ $$\mathbf{E}_{out} . \hat r-\mathbf{E}_{in}.\hat r=\frac{\sigma}{\epsilon}_0 \,\,\,,\,\,\,\mathbf{E}_{in}=0 \to \sigma={\epsilon}_0 \mathbf{E}_{out} . \hat r$$
Se puede llegar a este resultado calculando directamente las densidades de carga libre y ligada, resolviendo también el potencial mediante la ecuación de Laplace:
El problema es claramente simétrico azimutal, y también según su argumento, no es una función de $\theta$ tampoco; es decir, el problema es 1-D y $V$ es una función de $r$ .
Utilizando el hecho de que el potencial es continuo en la frontera de las dos regiones y también desaparece en $\infty$ el único término restante de la expansión del potencial en coordenadas esféricas será:
$$V=\frac{Cq}{r}$$ $$ \mathbf{D}=-\epsilon \nabla V \to \cases{\mathbf{D}_1=\frac{\epsilon_1Cq}{r^2}\hat r \\ \mathbf{D}_2=\frac{\epsilon_2Cq}{r^2}\hat r}$$
Ahora, suponiendo una superficie esférica que rodea la esfera y aplicando la ley de Gauss para $\mathbf{D}$ encontraremos $C$ :
$$\oint{\mathbf{D}.d\mathbf{S}}=Q_{free}\to C=\frac{1}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)}$$
$$V=\frac{1}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r}$$
Ahora encontramos $\mathbf{D}_1$ , $\mathbf{D}_2$ y $\mathbf{E}$ :
$$\mathbf{E}=\frac{1}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r^2}\hat r$$
$$\mathbf{D}_1=\frac{\epsilon_1}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r^2}\hat r$$
$$\mathbf{D}_2=\frac{\epsilon_2}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r^2}\hat r$$
utilizando la relación $\sigma_f=\mathbf{D}.\hat r $ tendremos:
$$\to \cases{\sigma_{1f}=\frac{q\epsilon_1}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{1}{R^2} \\ \sigma_{2f}=\frac{q\epsilon_2}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{1}{R^2}}$$
A partir de estas dos relaciones para $\sigma_{f}$ s es evidente que la carga libre total es igual a $q$ como era de esperar: $$\sigma_{1f}\times 2\pi R^2+\sigma_{2f}\times 2\pi R^2=q$$
Ahora encontramos las densidades de carga ligadas. Primero debemos encontrar los vectores de polarización $\mathbf{P}_1$ y $\mathbf{P}_2$ :
$$\mathbf{P}=\mathbf{D}-\epsilon_0 \mathbf{E} \to \cases{\mathbf{P}_1= \frac{\epsilon_1- \epsilon_0}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r^2}\hat r \\ \mathbf{P}_2=\frac{\epsilon_2- \epsilon_0}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{r^2}\hat r }$$ y
$$\sigma_b =\mathbf{P}.\hat r\to \cases{\sigma_{b1}=-\frac{\epsilon_1- \epsilon_0}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{R^2} \\ \sigma_{b2}=-\frac{\epsilon_2- \epsilon_0}{2\pi (\epsilon_1 + \epsilon_2)} \frac{q}{R^2} }$$
Ahora puedes ver que en cada media esfera la suma de las densidades de carga ligada y libre es igual, como se esperaba: $$\sigma_{b1}+\sigma_{f1}=\sigma_{b2}+\sigma_{f2}$$
