Cualquier contables conjunto de los números reales es el conjunto de discontinuidades de algunos monotonía de la función.

Question

Estoy estudiando para un examen final y han llegado a través de los siguientes vieja pregunta de examen: Demostrar que cualquier contables conjunto de los números reales es el conjunto de puntos de discontinuidad de algunas monotonía de la función.

La prueba me dio es como sigue:

Deje $X$ ser una contables conjunto de los números reales. Deje $\{r_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ser una enumeración de $X$, de tal manera que $r_n < r_{n+1}$. Definir $$f(x) = \begin{cases} r_n & x \in [r_n, r_{n+1}) \\ x & (x<r_1) \text{ or } (r_n < x \forall n).\end{cases}$$ Then for all real $x \no \en X$, $f$ is continuous at $x$ and discontinuous at $r_n$. Moreover, it is clear that $f$ is monotone by our choice of enumeration of $X$. Q. E. D.

Después de buscar en línea para confirmar mi respuesta, me encontré con dos cosas que me dejó confundido. En primer lugar, este StackExchange post: puedo siempre el fin de una contables conjunto de números. Este post parece decir "me da una enumeración, y me gustaría pedir" que se muestra a ser imposible. Creo que esto contrasta con mi enfoque porque estoy tomando una enumeración que ya está ordenada, en lugar de tomar una arbitraria de la enumeración que se ordenó entonces. Pero yo podía ver el argumento de que desde la orden de enumeración es una permutación de cualquier otra enumeración que son la misma cosa, y por lo tanto un buen orden de $X$ es no garantiza que existe. Creo que es un error porque $X \subseteq \mathbb{R}$ por lo que hay, al menos, el buen orden inducido por $\mathbb{R}$. Es alguien capaz de confirmar o negar esta lógica?

Segundo, me encontré con Froda del teorema. Creo que la pregunta de la declaración es a la inversa de Froda del teorema, pero no estoy seguro de si es a la inversa o si es la misma declaración en el disfraz. Me doy cuenta de que es un poco tonta la pregunta, pero ¿cuál es la relación entre Froda del teorema y esta pregunta?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Froda del teorema de hecho es lo contrario de lo que usted está tratando de hacer.

Froda del teorema dice que "la Monotonía de la función en el intervalo" implica "conjunto de discontinuidades es contable".

Su tarea es "Contables conjunto" implica "hay una monotonía de la función cuyo conjunto de discontinuidades es este conjunto".

Así Froda del teorema toma una función y le da al conjunto de discontinuidades. Que el conjunto de discontinuidades, y usted tiene que encontrar la propia función.

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Dado que la mayoría de los otros comentarios se han centrado en la tarea de ordenar, yo me voy a centrar en la lucha contra la principal pregunta, ya se ha señalado que la respuesta es incorrecta.

Para su tarea, en lugar de ir a las enumeraciones de los contables conjunto, podemos utilizar el hecho de que hay countably muchos elementos, para crear una función de paso, con saltos en los puntos en los contables conjunto.

Para esto, primero vamos a considerar el conjunto en sí, que podemos escribir como $\{r_n\}$ . Esto puede ser hecho por un contable está en bijection con $\mathbb N$, lo que la elección de cualquiera de tales bijection , dejamos $r_n$ ser la imagen de $n$ bajo la bijection(Así, sin orden se supone). Solo tiene que definir : $$ f(x) = \sum_{n : r_n < x} \frac 1{n^2} $$

Es decir, dado $x \in \mathbb R$, nos encontramos con todos los $n$ tal que $r_n < x$, y tomar la suma de los recíprocos de los cuadrados de estos $n$.

Esto está bien definido, ya que $0 \leq f(x) \leq \frac{\pi^2}{6}$ para todos los $x$, y el conjunto en virtud de la cual suma ocurre está bien definido. $f$ también es monotono, claramente.

Pick $r_N$, un punto en el contable establecido. Entonces, para todos los $x > r_N$, tenga en cuenta que $$f(x) = \sum_{n : x > r_n} \frac 1{n^2} = f(r_N) + \sum_{n : x > r_n \geq r_N} \frac 1{n^2} \geq f(r_N) + \frac 1{N^2}$$

Por lo tanto, tenemos $\lim_{x \to r_N^+} f(x) \geq f(r_N) + \frac 1{N^2} > f(r_N)$, lo que contradice la definición de continuidad. Por lo tanto, la discontinuidad en estos puntos tiene.

Para la continuidad de la $f$ en puntos fuera de $\{r_n\}$, usamos el hecho de que la cola de la serie puede hacerse tan pequeña como se desee. Para ello, vamos a $s \notin \{r_n\}$, e $\epsilon > 0$. Pick $N$ lo suficientemente grande, de modo que $\sum_{n=N+1}^\infty \frac 1{n^2} < \epsilon$. Ahora, desde la $\{r_1,...,r_N\}$ es un conjunto finito, podemos encontrar un intervalo alrededor de a$s$, decir $I=(s-\delta,s+\delta)$, que es tal que $r_i \notin I$ para todos los $i \leq N$. Esto puede ser hecho por un conjunto finito es cerrado, por lo que su complemento es abierto.

Por último, tenga en cuenta que $f(s+\delta) - f(s-\delta) = \sum_{n : s-\delta \leq r_n < s+ \delta} \frac 1{N^2} < \epsilon$ por la elección de $\delta$. Por la monotonía de $f$, llegamos a la conclusión de que $f(x)-f(y) < \epsilon$ para todos los $x,y \in (s-\delta,s+\delta)$. Usted puede utilizar esto para ver que la continuidad se mantiene a $s$.

Por lo tanto, sin que la enumeración, es posible construir una función, mediante la inducción de saltos en los lugares correctos.

EDIT : lo anterior funciona para $\{r_n\}$ "a la mayoría de los contables", es decir, finito o contable.

Answer 2

Sí, el hecho de que cada contables conjunto de los números reales es el conjunto de discontinuidades de una monotonía de la función es la inversa de el hecho de que el conjunto de discontinuidades de una función es monótona contables. (Yo no sabía que el último hecho fue llamado "Froda del teorema".)

La prueba está bien como va, pero solo cubre el caso de un contable establece que se pueden enumerar en orden creciente, por ejemplo, el conjunto de enteros positivos. No todos los contables pueden ser enumerados en orden creciente, por ejemplo, el conjunto $\mathbb {Z} $ de todos los números enteros, positivos, negativos o cero. Usted no tendrá mucha dificultad para adaptarse a su prueba para obtener una función cuyo conjunto de discontinuidades es $\mathbb Z$, pero usted tendrá que pensar un poco más difícil de conseguir de una función cuyo conjunto de discontinuidades es el conjunto $\mathbb Q$ de todos los números racionales.