Lugar de $0<\arg(\frac{z+i}{z-i})<\pi/4$

Question

Estoy estudiando el Análisis Complejo por mi cuenta y estoy teniendo un poco de dificultad para encontrar el lugar de $0<\arg(\frac{z+i}{z-i})<\pi/4$ con rigor. Podemos ver geométricamente (usando Propiedad del ángulo inscrito ) que el lugar geométrico es la parte del plano que está a la derecha del eje y, menos un determinado círculo en el centro (he calculado que este círculo es $(x-1)^2+y^2=2$ específicamente), pero ¿se puede calcular sin este tipo de intuición geométrica?

INTENTO: Traté de enchufar $z=x+iy$ . Obtenemos $$\Re(z)=\frac{x^2+y^2-1}{(x^2+(y-1)^2}$$ y $$\Im(z)=\frac{2x}{(x^2+(y-1)^2}$$

Así que mi pensamiento fue tratar de comparar estos dos con $r\cos(t)$ y $r\sin(t)$ respectivamente, y luego quizás utilizar la fórmula $\sin^2(t)+\cos^2(t)=1$ pero no llegué muy lejos.

Answer 1

$$\frac{z+i}{z-i} = \frac{(z+i)(\bar{z}+i)}{|z-i|^2} \Rightarrow \arg(\frac{z+i}{z-i}) = \arg((z+i)(\bar{z}+i))$$

Dicho esto, hay que tener en cuenta que el argumento de un número complejo de la forma $Z=X+iY$ está en $(0,\frac{\pi}{4})$ si y sólo si $X>Y>0$ . Como $$(z+i)(\bar{z}+i) = x^2+y^2-1+2ix,$$ la condición deseada se verifica si y sólo si $$x^2+y^2-1 > 2x > 0,$$ que se puede reescribir como $$x>0 \text{ and } (x-1)^2+y^2>2.$$

Por lo tanto, el lugar es el semiplano $\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}$ menos el círculo de radio $\sqrt{2}$ centrado en $(1,0)$ .