Demostrar o refutar que existe una secuencia $f_n$ de función continua sobre [0,1] tal que para cada x $ \in [0,1] $ , $f_n(x)$ converge a $f(x)$

Question

Demostrar o refutar: Si $f$ es una función de valor real no decreciente sobre $[0,1]$ entonces hay una secuencia $f_n$ de función continua sobre $[0,1]$ tal que para cada x $ \in [0,1] $ tenemos $f_n(x)$ converge a $f(x)$

Estoy pensando en Si asumimos que f es continua entonces podemos encontrar la secuencia de polinomios $p_n(x)$ que converge a $f$ pero f no se da que sea continua, entonces ¿cómo lo hacemos? cualquier sugerencia y pista es bienvenida.

Answer 1

La respuesta es "sí". Deje que $B$ denotan el conjunto de funciones que son el límite puntual de las funciones continuas (este conjunto suele llamarse conjunto de funciones de clase 1 de Baire).

Dejemos que $S$ denotan el conjunto de funciones escalonadas sobre $[0,1]$ . Puede probar los siguientes hechos:

• $S$ es un subconjunto de $B$

• toda función no decreciente es el límite uniforme de una secuencia de funciones en $S$

• $B$ es cerrado bajo límites uniformes

Si se juntan, se obtiene una respuesta a su pregunta.

¡Obsérvese que, como el conjunto de puntos de continuidad de las funciones de clase 1 de Baire es denso, el conjunto de puntos de continuidad de cualquier función monótona es denso !

Answer 2

Usted observa que $X=C([0,1])$ con la norma sup $||\cdot ||_{sup}$ es un espacio métrico, entonces es primero contable. Su función es un punto de acumulación para $X$ , entonces hay una secuencia $\lbrace f_n\rbrace$ de $X$ tal que converge uniformemente a $f$ . Este resultado se obtiene simplemente para todos los puntos de acumulación en los primeros espacios topológicos contables.