Espacios topológicos, donde cada conjunto cerrado es una contables intersección de abrir?

Question

Métrica espacios tienen la siguiente propiedad: Cada conjunto cerrado es una contables intersección de bloques abiertos.

¿Qué otros espacios tienen esta propiedad? Hay algunas buenas conocida suficiente o condiciones necesarias en un espacio topológico, para esta propiedad?

(por ejemplo, localmente compacto Hausdorff espacios satisfacer? )

---

La prueba para la métrica del espacio es muy fácil:

Deje $A\subseteq X$ ser cerrado. Para todos los $n\in \mathbb N$ definir $$U_n=\bigcup _{a\in A} B(a,\frac{1}{n}).$$ Cada una de las $U_n$ está abierto, y $A=\bigcap _{n\in \mathbb N} U_n$.

Answer 1

Un espacio de este tipo se llama un $G_\delta$ espacio. Un $G_\delta$ espacio normal se llama "perfectamente normal" y de perfecta normalidad es equivalente a la normalidad, además, cada conjunto cerrado de ser la desaparición de conjunto de algunos de los verdaderos valores de función continua. Más allá de la métrica de los espacios, de una notable clase de ejemplos es que todos los CW-complejos son perfectamente normales.

No todo compacto Hausdorff espacios se $G_\delta$ espacios. Por ejemplo, el ordinal $\omega_1+1$ es compacto Hausdorff con el fin de topología pero el singleton $\{\omega_1\}$ no es un $G_\delta$ conjunto.

Answer 2

Como se dijo anteriormente, estas son las $G_{\delta}$ conjuntos.

Para un espacio normal $X$ Una descripción equivalente de estos:

$A \subset X$ es $G_{\delta}$ conjunto de iff $\exists f:[0,1] \to X$, continuo, s.t $f(a) = 0$ a $A$, y más $f(x) > 0$.

hacer localmente compacto Hausdorff espacios satisfacer?

No, como Eric Wofsey mostró anteriormente, pero es cierto que cada localmente compacto espacio de Hausdorff es un espacio de Tychonoff ($T_{3\frac{1}{2}}$)

Answer 3

Una noción de que es una versión más fuerte de esto es llamado "stratifiable": un espacio de $X$ se llama stratifiable, cuando para cada subconjunto cerrado $F$ de $X$ tenemos un (WLOG disminución) de la secuencia de abrir subconjuntos $U(F,n), n \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $F,G$ cerrado, si $F \subseteq G$ , a continuación, para todos los $n$, $U(F,n) \subseteq U(G,n)$ y para el cierre de $F$ tenemos $F = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} U(F,n)$. Así que cada conjunto cerrado es un $G_\delta$ en un monótono.

Métrica espacios son un primer ejemplo de este tipo de espacios, como podemos tomar $U(F,n) = \{x: d(x,F) < \frac{1}{n}\}$ en ese caso.

"Sólo" tener cada conjunto cerrado un $G_\delta$ se llama "perfecto" y si el espacio también es $T_4$ es entonces llamó a $T_6$ o "perfectamente normal". Esto implica que $X$ es hereditariamente normal (cada subespacio es normal). Stratifiable también implica una forma fuerte de la normalidad, es decir, "monótonamente normal".