Probar que G es un nonabelian grupo de la orden de 20 de

Question

Dado que el$G = \langle x,y | x^5=y^4=1,yx=x^2y\rangle$, ¿cómo puedo demostrar $G$ es un no-grupo abelian de orden $20$ (y no isomorfo a $D_{10}$)?

He aquí lo que tengo hasta ahora:

$y^4=1$ $xy = y^4xy = y^3(yx)y = y^3x^2y^2$

Honestamente he intentado un poco más añadiendo a la derecha y a la izquierda, pero me quedo pegado. Estoy asumiendo que la mejor manera de seguir adelante es para probar la $yx \neq xy$? Podría alguien hacerme en la dirección correcta?

Answer 1

Considerar el grupo $G' = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, donde el grupo de la multiplicación se define como $$ (\overline{a},\overline{b}) \estrella (\overline{a'},\overline{b'}) = (\overline{a+2^ba'},\overline{b+b'})\, , $$

(que es válida la multiplicación debido a $2^4 \equiv 1 \mod 5$). Si establecemos $x = (\overline{1},\overline{0})$$y = (\overline{0},\overline{1})$, entonces las relaciones de la presentación están satisfechos, de modo que existe una surjective mapa de$G$$G'$. Sin embargo, no es tan difícil ver que $|G| \leq 20 = |G'|$, lo que en realidad tenemos $G \simeq G'$.

Os dejo el hecho de que $G$ es nonabelian y no isomorfo a $D_{10}$ como un ejercicio.

Answer 2

Voy a usar las $C_n$ como notación para el grupo cíclico de orden $n$.

Yo reclamo que $G$ es isomorfo a $C_4 \rtimes C_5$, donde el generador de $C_4$ actúa en $C_5$ a través de cuadrar, por lo que no es abelian de orden $20$.

De hecho, este es inmediata a partir del hecho de que $C_4 = \langle y \mid y^4=1 \rangle$$C_5 = \langle x \mid x^5=1 \rangle$, y de cómo un semidirect producto se ve como en términos de generadores y relaciones, comparar Comentario 1.7.1 en estas notas.

Answer 3

Aquí hay una dirección en la que usted puede comenzar con: en primer lugar, tenga en cuenta que si bien la relación $yx = x^2y$ no dice que $x$ $y$ viaje, todavía le permite mover cualquier $x$s "a la izquierda de" todos los $y$s. En particular, esto significa que cada elemento del grupo puede ser expresado en la forma $x^iy^j$ — y ya que hemos $x^5=1$, $y^4=1$ a continuación, podemos incluso imponer las restricciones $0\leq i\leq 4$, $0\leq j\leq 3$. Ahora, esto muestra que el grupo tiene más de 20 elementos; por comodidad voy a expresar un elemento $x^iy^j$$\langle i,j\rangle$. A continuación, puede utilizar el generador de relaciones para expresar el producto de grupo de $\langle i,j\rangle$ $\langle k,l\rangle$ con 'operaciones aritméticas'$i,j,k,l$; esto se debe también permiten calcular la inversa de cualquier $\langle i,j\rangle$ en que forma. No debe ser demasiado duro para demostrar que todos estos elementos son distintos; para demostrar que su grupo no $D_{10}$, se puede considerar que el número de elementos de orden $2$ en cada uno.