Encontrar el centralizador de una permutación

Question

Necesito encontrar el centralizador de la permutación $\sigma=(1 2 3 ... n)\in S_n$ .
Lo sé:
$C_{S_n}(\sigma)=\left\{\tau \in S_n|\text{ } \tau\sigma\tau^{-1}=\sigma\right\}$
Es decir, que el centralizador es el conjunto de todos los elementos que conmutan con $\sigma$ y también sé que si dos permutaciones tienen ciclos disjuntos implica que se conmutan, pero la cosa es que no hay $\tau\in S_n$ s.t. $\tau$ y $\sigma$ tienen ciclos disjuntos, ya que $\sigma=(1 2 3...n)$ .
Así que puedo concluir que $\sigma$ no conmuta con ningún otro $\tau$ en $S_n$ (además $id$ por supuesto)?
Supongo que mi pregunta se reduce a: ¿es también cierta la segunda dirección de la implicación mencionada anteriormente? es decir, si dos permutaciones conmutan, ¿implica esto que tienen ciclos disjuntos?
Si la respuesta es no, ¿cómo puedo encontrar el $C_{S_n}(\sigma)$ ?

Por cierto, en un tema relacionado, me he dado cuenta de que si un elemento $g$ de un grupo $G$ está solo en su clase de conjugación, conmuta con todos los elementos de $G$ .
¿Qué significa, intuitivamente, que un elemento comparta su clase de conjugación con otro elemento? ¿Significa que "casi" conmuta con todos los del grupo?
¿Es cierto que cuanto mayor es la clase de conjugación, menos conmutan sus miembros con otros del grupo?

Answer 1

Sugerencia: la conjugación en $S_n$ deja intactos los tipos de ciclos: $\tau^{-1}(1 2 3 \dots n)\tau=(\tau(1) \tau(2)\tau(3) \cdots \tau(n))$ .

Answer 2

Dejemos que $S_n$ actuar sobre sí mismo por conjugación. Sea $g = (1,2,\ldots,n)$ . El tamaño de la órbita de $g$ en esta acción es su clase de conjugación $\{ h^{-1} gh: h \in S_n\}$ . El subgrupo estabilizador de $g$ en esta acción es el conjunto de elementos $h$ en $S_n$ tal que $h^{-1}gh=g$ es decir, el centralizador $C_{S_n}(g)$ . Por el lema del estabilizador de la órbita, el tamaño de la órbita es igual al índice del estabilizador. El tamaño de la órbita es el número de elementos que tienen la misma estructura de ciclo que $g$ que es $(n-1)!$ . Así, el índice del centralizador es $(n-1)!$ , por lo que el centralizador tiene $n! / (n-1)!=n$ elementos. Así, los poderes de $g$ agotan todos los $C_{S_n}(g)$ .

Una segunda prueba es la siguiente. Para el caso especial en el que $g=(1,2,\ldots,n)$ podemos determinar su centralizador en $S_n$ sin utilizar el lema del estabilizador de la órbita. Si $h^{-1}gh = g$ entonces $(h(1),h(2),\ldots,h(n)) = (1,2,\ldots,n)$ . Ahora, $h(1)$ se puede elegir en $n$ maneras de ser cualquiera de $1,2,\ldots,n$ pero una vez $h(n)$ es elegido, los elementos restantes $h(2),\ldots,h(n)$ están determinados de forma única. De hecho, si $h(1)=i$ entonces $h(2)=i+1$ y así sucesivamente $h$ es sólo una potencia de $g$ . Por lo tanto, hay exactamente $n$ diferentes elementos $h$ tal que $h^{-1}gh=g$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que $|\sigma| = n$ para que $\sigma^n = 1$ . Así que $$ \langle \sigma \rangle = \{1, \sigma, \sigma^2, \ldots, \sigma^{n-1}\} $$ forma un cíclico conmutativo subgrupo de $S_n$ con el pedido $|\langle \sigma \rangle| = n$ . Para cualquier permutación $x$ de un grupo simétrico $S_n$ tenemos la fórmula muy conveniente: $$ |C(x)| = 1^{\alpha_1}2^{\alpha_2}\cdots n^{\alpha_n}\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_n!, $$ donde $\alpha_i$ es el número de ciclos en $x$ de longitud $i$ . Para su permutación $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots \alpha_{n-1} = 0$ y $\alpha_n = n$ así que $|C(\sigma)| = n$ . Tenemos $|C(\sigma)| = |\langle \sigma \rangle| = n$ , lo que implica $C(\sigma) = \langle \sigma \rangle$ .