Pregunta sobre el complejo interior del producto axiomas

Question

Mi libro de texto afirma que a partir de los axiomas por el complejo interior del producto:

$$\left<y,x\right>=\overline{\left<x,y\right>}\tag{1}$$ $$c\left<x,y\right> = \left<cx,y\right>\tag{2}$$

podemos derivar:

\begin{align} \left<x,cy\right> &= \overline{\left<cy,x\right>}\\ &= \overline{c}\overline{\left<y,x\right>}\\ &= \overline{c}\left<x,y\right> \end{align}

Entiendo que los primeros y los últimos pasos de la derivación, pero en el medio paso, no entiendo lo que justifica llevar la $c$ del producto interior, y tomando su complejo conjugado.

Answer 1

$\langle cy, x\rangle = c\langle y,x\rangle$ por la segunda regla, y por lo $\overline{\langle cy, x \rangle} = \overline{c\langle y,x \rangle} = \overline{c}\overline{\langle y,x\rangle}$. Que la última igualdad se sigue del hecho de que para cualquier $z,w\in \mathbb C$,$\overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot\overline{w}$.

Answer 2

La definición de un producto interior tiene que su sesquilinear -- lineal en uno de los argumentos, conjugado lineal en el otro argumento. La atracción de la $c$ con el conjugado es parte de la sesquilinearity.

(La definición también tiene que su hermitian; si se conjuga el interior del producto, invertir el orden de tomarlo)