Demuestre que en cualquier campo finito existe una solución no trivial para $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 0$ .

Question

Demuestre que en cualquier campo finito existe una solución no trivial para $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 0$ .

Lo he demostrado para campos finitos de cardinalidad $q$ cuando $4$ divide $q-1$ y cuando $q-1$ es impar. En tales campos finitos, $-1$ tiene una raíz cuadrada. Por lo tanto, $x^2+y^2 = 0$ tiene una solución no trivial.

Quiero una solución no trivial para la ecuación anterior cuando $q-1 \equiv 2 (\mod 4)$ ? En este caso, ya sabemos que no existe una solución no trivial para $x^2+y^2 = 0$ .

¿Existe un enfoque más general que no se preocupe por la cardinalidad del campo?

Answer 1

Como señala Jyrki, el conjunto de elementos de la forma $1+y^2$ tiene $(q+1)/2$ elementos donde $q$ es la cardinalidad del campo. Del mismo modo, para el conjunto de elementos de la forma $-x^2$ . Ver mi responder para comprobar estos hechos.