Evaluar $\int\cos(\ln x^2)dx$

Question

$$\int\cos(\ln x^2)dx$$

He aprendido el método de sustitución, la integración por partes y algunos otros métodos básicos de integración, pero no tengo ni idea de cómo empezar esta pregunta.

¿Cómo debo empezar esta pregunta?

Answer 1

Utilizando el hecho de que $\cos \theta=\text{Re }e^{i\theta}$ ,

$$ \begin{align*} \int \cos(\log x^2)\; dx &= \text{Re}\int e^{2i \log x} \; dx \\ &= \text{Re} \int x^{2i}\; dx \\ &= \text{Re}\left(\frac{x^{1+2i}}{1+2i} \right) \\ &= \frac{x}{5}\text{Re} \left( x^{2i} (1-2i)\right) \\ &= \frac{x}{5}\text{Re} \left( (\cos(2\log x)+i\sin(2\log x) ) (1-2i)\right)\\ &= x\frac{ \cos(2\log x)+2 \sin(2\log x)}{5}+C \end{align*} $$

Answer 2

Para facilitar las cosas, escribamos $\ln x^2 = 2 \ln x$ . Si haces la sustitución $u = 2 \ln x$ para que $\frac{du}{dx} = \frac{2}{x}$ y $x = e^{u/2}$ Entonces, se termina con

$$\frac 12 \int e^{u/2} \cos u \;\mathrm{d}u,$$

que puede hacerse rápidamente con $2$ integración por partes (y que es un problema clásico de integración por partes).

Answer 3

Reescritura $$ \int\cos(\ln x^2)dx=\int\cos(2\ln x)dx. $$ Utilizar el PNI tomando $u=\cos(2\ln x)\;\Rightarrow\;du=-\dfrac2x\sin(2\ln x)\ dx$ y $dv=dx\;\Rightarrow\;v=x\,$ rinde $$ \int\cos(2\ln x)dx=x\cos(2\ln x)+2\int\sin(2\ln x)dx+C_1.\tag1 $$ De nuevo utilizando el IBP tomando $u=\sin(2\ln x)\;\Rightarrow\;du=\dfrac2x\cos(2\ln x)\ dx$ y $dv=dx\;\Rightarrow\;v=x$ rinde $$ \int\sin(\ln x^2)dx=x\sin(2\ln x)-2\int\cos(2\ln x)dx+C_2.\tag2 $$ Enchufar $(2)$ a $(1)$ rinde \begin{align} \int\cos(2\ln x)dx&=x\cos(2\ln x)+2x\sin(2\ln x)-4\int\cos(2\ln x)dx+K\\ 5\int\cos(2\ln x)dx&=x\cos(\ln x^2)+2x\sin(\ln x^2)+K. \end{align}

Answer 4

Tomando $t=\ln x$ se obtiene $dx=e^t dt$ $$\int\cos(\ln x^2)dx=\int\cos(2t)e^t dt=:I$$ Integrando por partes dos veces se obtiene $$I=\int\cos(2t)e^t dt=e^t\cos(2t)+2\int\sin(2t)e^t dt+C=$$ $$=e^t\cos(2t)+2\left(e^t\sin(2t) - 2\int\cos(2t)e^t dt\right)+C=$$ $$=e^t\cos(2t)+2e^t\sin(2t)-4I +C\ .$$ Así, $$I=\frac{1}{5}\left(e^t\cos(2t)+2e^t\sin(2t)\right)+C=\frac{1}{5}\left(x\cos(\ln x^2)+2x\sin(\ln x^2)\right)+C$$