Comportamiento asintótico de la solución no lineal de la educación a distancia

Question

Estoy tratando de determinar el comportamiento asintótico como $t \to \infty$ de la solución a la urografía EXCRETORA:

$$y''(t) - y(t) + \frac{1}{[y(t)]^3} = 0\\y(0) = 1;\, y'(0) = 1$$

Sin la no linealidad, tenemos soluciones de la forma $e^{\pm t}$. Creo que la solución no lineal tiene un comportamiento similar, pero no estoy seguro de cómo mostrar este o determinar de manera precisa la forma asintótica.

Answer 1

Vamos a ver si podemos resolver esto exactamente.

La inversión de la función nos da:

$$-\frac{t''}{t'^3} - y + \frac{1}{y^3} = 0 \\ t''+\left(y-\frac{1}{y^3} \right) t'^3=0$$

$$t'(y)=f(y)$$

$$f'=\left(\frac{1}{y^3}-y \right) f^3$$

$$-\frac{1}{2 f^2}=-\frac{1}{2 y^2}-\frac{y^2}{2}+C$$

$$\frac{1}{f^2}=\frac{1}{y^2}+y^2+C$$

$$f^2=\frac{y^2}{1+Cy^2+y^4}$$

$$f=\frac{y}{\sqrt{1+2C_1y^2+y^4}}$$

$$t(y)= \int \frac{y ~dy}{\sqrt{1+2C_1y^2+y^4}}=\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{1+2C_1 u+u^2}}=\frac{1}{2} \log \left(C_1+u+\sqrt{1+2C_1 u+u^2} \right)+C_2$$

Por lo tanto tenemos:

$$t(y)=\frac{1}{2} \log \left(C_1+y^2+\sqrt{1+2C_1 y^2+y^4} \right)+C_2$$

La sustitución de la primera condición nos da:

$$C_2=-\frac{1}{2} \log \left(C_1+1+\sqrt{2(C_1+1)) } \right)$$

Para la segunda condición en la que nos encontramos:

$$t'(1)=\frac{1}{\sqrt{2(C_1+1)}}=1$$

$$C_1=-\frac{1}{2}$$

$$C_2=-\frac{1}{2} \log \frac{3}{2}$$

Así, obtenemos finalmente la exacta implícita la solución:

$$t(y)=\frac{1}{2} \log \left(y^2-\frac12+\sqrt{y^4-y^2+1} \right)-\frac{1}{2} \log \frac{3}{2}$$

---

Podemos encontrar $y(t)$ por la solución de la ecuación anterior, que podría reducir a una ecuación cuadrática uno:

$$y^2-\frac12+\sqrt{y^4-y^2+1}=\frac{3}{2} e^{2t}$$

$$\sqrt{y^4-y^2+1}=\frac{3}{2} e^{2t}+\frac12 -y^2$$

$$y^4-y^2+1=y^4-\left(1+3 e^{2t} \right)y^2+\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2} e^{2t} \right)^2 $$

$$3 e^{2t} y^2=\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2} e^{2t} \right)^2 -1$$

$$y(t)= \frac{e^{-t}}{2\sqrt{3}} \sqrt{\left(1+3 e^{2t} \right)^2 -4}$$

$$y(t)= \frac{e^{-t}}{2} \sqrt{3 e^{4t}+2e^{2t} -1}$$

Esta es la solución exacta, que se pueden comprobar por sustitución directa. A partir de esto podemos encontrar el asintótica.

Para $t \to +\infty$ tenemos:

$$y(t) \asymp \frac{\sqrt{3} }{2}e^{t}$$

El asintótica da una muy buena aproximación para $t>2$, ver la trama (el azul es la solución exacta, naranja asintótico):