Mapas afines, matricidades, invertibilidad y relaciones de equivalencia

Question

Un mapa $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es afín si hay un invertible $n$ x $n$ matriz $M$ y un vector $s \in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=Mx+s$ por cada $x \in \mathbb{R}^n$ .

1. Demuestre que todo mapa afín $f(x) = Mx+s$ es invertible y su inversa también es afín?

2. Demuestre que la composición de mapas afines $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ es afín.

3. Para dos subconjuntos, $S$ , $T$ de $\mathbb{R}^n$ , escriba $S \sim T$ si existe un mapa afín $f$ tal que $f(S) =T$ . Entonces decimos que $S,T$ son relacionado con la afinidad . Demostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia sobre el conjunto de subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ .

Answer 1

Parte 1: Basta con encontrar una fórmula para la inversa $$ y = Mx + s \implies Mx = y - s \implies x = M^{-1}(y-s) = M^{-1}y - M^{-1}s $$ Por lo tanto, defina $g(x) = M^{-1}x - M^{-1}s$ . Verifique que $g$ es efectivamente un inverso de $f$ es decir, que $f(g(x)) = g(f(x)) = x$ . $g$ es una transformación afín ya que toma la entrada, la multiplica por $M^{-1}$ y luego añade el vector $-M^{-1}s$ .

Parte 2: Supongamos que $f_1(x) = M_1x + s_1$ y $f_2(x) = M_2x + s_2$ . Tenga en cuenta que $$ f_2(f_1(x)) = M_2(M_1x + s_1) + s_2 = [M_2M_1]x + [M_2s_1 + s_2] $$ Así que.., $f_2 \circ f_1$ es afín.

Parte 3: Por transitividad, supongamos que $S \sim T$ y $T \sim U$ . Es decir, hay transformaciones afines $f,g$ tal que $f(S) = T$ y $g(T) = U$ . De ello se desprende que $$ g(T) = g(f(S)) = (g \circ f)(S) = U $$ Desde $g \circ f$ es afín, esto nos dice que $S \sim U$ , según se desee.

Answer 2

1.) Dejemos que

$f(x) = Mx + s \tag{1}$

sea un mapa afín $\Bbb R^n \to \Bbb R^n$ . Supongamos que

$f(x_0) = y_0 \tag{2}$

para algunos $x_0 \in \Bbb R^n$ . Entonces tenemos

$Mx_0 + s = y_0, \tag{3}$

o

$Mx_0 = y_0 - s, \tag{4}$

o, como $M$ es invertible,

$x_0= M^{-1}(y_0 - s) = M^{-1}y_0 - M^{-1}s. \tag{5}$

(4) sugiere que establezcamos

$t = -M^{-1}s \tag{6}$

y considerar el mapa afín

$g(x) = M^{-1}x + t; \tag{7}$

tenemos, para cualquier $x \in \Bbb R^n$ ,

$g(f(x)) = M^{-1}(f(x)) + t = M^{-1}(Mx + s) + t$ $ = M^{-1}Mx + M^{-1}s + t = Ix + M^{-1}s - M^{-1}s = x, \tag{8}$

et

$f(g(x)) = f(M^{-1}x + t) + s = M(M^{-1}x + t) + s$ $ = MM^{-1}x + Mt + s = Ix - s + s = x, \tag{9}$

utilizando (6). Esto demuestra que cualquier mapa afín $f(x)$ tiene una inversa afín

$g(x) = f^{-1}(x). \tag{10}$

2.) Tomando

$g(x) = Nx + r, \tag{11}$

donde $N$ es invertible, vemos que

$g(f(x)) = Nf(x) + r = N(Mx + s) + r = NMx + Ns + r = NMx + (Ns + r); \tag{12}$

desde $M$ y $N$ son ambos invertibles, por lo que $NM$ por lo tanto $g(f(x))$ es afín, demostrando que la composición de dos mapas afines es también afín.

3.) Esto es en realidad un caso especial de una observación mucho más general sobre las colecciones de mapas invertibles en conjuntos arbitrarios:

Generalidad: Dejemos que $\Sigma$ sea cualquier y que $\mathcal C$ sea cualquier no vacío colección de mapeos invertibles $f:\Sigma \to \Sigma$ que es cerrado tanto en la composición como en la toma de inversos, es decir

$f, g \in \mathcal C \implies f \circ g:\Sigma \to \Sigma \in \mathcal C, \tag{13}$

et

$f \in \mathcal C \implies f^{-1}:\Sigma \to \Sigma \in \mathcal C. \tag{14}$

Si, por $\Delta_1, \Delta_2 \subset \Sigma$ escribimos

$\Delta_1 \sim \Delta_2 \Longleftrightarrow \exists f \in \mathcal C, f(\Delta_1) = \Delta_2, \tag{15}$

entonces $\sim$ es una relación de equivalencia en $2^\Sigma$ el conjunto de potencia (conjunto de todos los subconjuntos) de $\Sigma$ .

Prueba de generalidad: Nota $\mathcal C \ne \emptyset$ por hipótesis; denotando el mapa de identidad de $\Sigma \to \Sigma$ por $Id$ Es decir, $Id(x) = x$ para $x \in \Sigma$ tenemos $Id(\Delta_1) = \Delta_1$ para cualquier $\Delta_1 \subset \Sigma$ Además, para $f \in \mathcal C$ y $x \in \Sigma$ ya que $f^{-1} \in \mathcal C$ por (14) y $f \circ f^{-1}, f^{-1} \circ f \in \mathcal C$ por (13), y

$Id(x) = f^{-1} \circ f(x) = f \circ f^{-1}(x), \tag{16}$

vemos que $Id \in \mathcal C$ . Así, $\Delta_1 \sim \Delta_1$ mostrando $\sim$ es reflexivo. Ahora bien, si $\Delta_1 \sim \Delta_2$ Hay un $f \in \mathcal C$ con

$f(\Delta_1) = \Delta_2, \tag{17}$

de donde

$f^{-1}(\Delta_2) = \Delta_1 \tag{18}$

con $f^{-1} \in \mathcal C$ por (13). Así,

$\Delta_2 \sim \Delta_1 \tag{19}$

y así $\sim$ es reflexivo. Por último, supongamos además que $\Delta_3 \subset \Sigma$ et

$\Delta_1 \sim \Delta_2, \Delta_2 \sim \Delta_3; \tag{20}$

entonces hay $f, g \in \mathcal C$ con

$f(\Delta_1) = \Delta_2, g(\Delta_2) = \Delta_3, \tag{21}$

de donde

$g \circ f(\Delta_1) = g(\Delta_2) = \Delta_3, \tag{22}$

es decir, desde $g \circ f \in \mathcal C$ por (13),

$\Delta_1 \sim \Delta_3, \tag{23}$ y vemos que $\sim$ es transitivo. Así, $\sim$ es una relación de equivalencia en $2^\Sigma$ . Fin de la prueba de generalidad.

Aplicando esta Generalidad al caso en cuestión, tomando $\Sigma = \Bbb R^n$ y $\mathcal C$ para ser el conjunto de mapeos afines $\Bbb R^n \to \Bbb R^n$ vemos inmediatamente que la relación resultante $\sim$ es una relación de equivalencia en $2^{\Bbb R^n}$ en virtud de los puntos (1.) y (2.) anteriores.