Demostrar que $\langle x^a, y^b\rangle$ es un ideal irreducible en $K[x,y]$ .
Cualquier tipo de ayuda es muy bienvenida.
Respuesta
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Todo ideal $I$ que contiene adecuadamente $\langle x^a,y^b \rangle$ debe tener un polinomio no nulo $p(x,y) \in I$ donde todos los términos de $p$ son de la forma $kx^cy^d$ donde ambos $0 \leq c < a$ y $0 \leq d < b$ . Considere $q = x^{\beta}p \in I$ donde la menor potencia de $x$ que aparecen en los términos de $q$ es $a-1$ . Todos los términos con poderes de $x$ que son $\geq a$ puede ser eliminado de $q$ para obtener $r \in I$ ya que $x^a \in I$ . Entonces, de manera similar, ponga $s = y^{\gamma}r$ para que la menor potencia de $y$ que aparecen en los términos de $s$ es $b-1$ y cuando se eliminan todos los términos cuyo poder de $y$ es $\geq b$ , te quedas con $k'x^{a-1}y^{b-1} \in I$ Así que $x^{a-1}y^{b-1} \in I$ . Desde $I$ es arbitraria, esto demuestra que cualquier intersección de ideales que contengan adecuadamente $\langle x^a,y^b \rangle$ también debe contener $x^{a-1}y^{b-1}$ que claramente no es un elemento de $\langle x^a,y^b \rangle$ . Así, $\langle x^a,y^b \rangle$ es irreducible.
