¿Cómo se puede demostrar que no existe ningún par de enteros positivos $(m,n)$ que cumpla lo siguiente?
$n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = m{(m + 1)^2}{(m + 2)^3}{(m + 3)^4}$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Old John
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16308
Esta es una versión editada de una respuesta parcial que publiqué hace algún tiempo y posteriormente eliminé (no estoy seguro si resucitar una respuesta es lo correcto después de haber recibido votos positivos y luego eliminada, tal vez alguien me asesore). Si alguien puede sugerir dónde se puede mejorar esto, o señalar cualquier error, estaría agradecido.
Considera la ecuación $$n(n+1)(n+2)(n+3) = m(m+1)^2(m+2)^3(m+3)^4$$ Para evitar algunas trivialidades más adelante, es fácil verificar que no hay soluciones con $m=1$ o $m=2$.
Usando el hecho de que $n(n+1)(n+2)(n+3)$ es casi un cuadrado, tenemos $$(n^2+3n+1)^2-1 = m(m+2)\times[(m+1)(m+2)(m+3)^2]^2$$ Poniendo $N = n^2+3n+1$ y $M = (m+1)(m+2)(m+3)^2$, esto se convierte en $$N^2-1 = m(m+2)M^2$$ de modo que $$N^2-1 = [(m+1)^2-1]M^2.$$ Nuestro enfoque ahora es escribir esto como $$N^2 - [(m+1)^2-1]M^2 = 1,$$ que es la ecuación de Pell, con $d = (m+1)^2-1$. En este caso hay una solución particularmente buena para la ecuación de Pell, ya que la fracción continua es muy simple en esta instancia. Para mayor comodidad cambiamos ligeramente la notación y usamos $k = m+1$, de modo que estamos buscando soluciones de $$x^2 - (k^2-1)y^2 = 1,$$ y teniendo en cuenta que para cualquier solución $(x,y)$ también necesitamos $$y = (m+1)(m+2)(m+3)^2 = k(k+1)(k+2)^2.$$ Así que investigamos las propiedades de las soluciones de la ecuación de Pell anterior analizando el método estándar de fracción continua. Tenemos $$\sqrt{k^2-1} = (k-1)+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{(2k-2)+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{(2k-2) + \ddots}}}}$$ lo que da las primeras soluciones $(x_n,y_n)$ como $(1,0), (k,1), (2k^2-1,2k), \dots$.
Observando las soluciones para $y$, vemos que se generan mediante la relación de recurrencia $$y_{n+2} = 2ky_{n+1} - y_n, \mbox{ con } y_0 = 0, y_1 = 1.$$ Recordando que también necesitamos $y = k(k+1)(k+2)^2$, es suficiente probar que esta última expresión no puede ser uno de los $y_n$ de la relación de recurrencia de la siguiente manera. Claramente, los valores de $y_n$ son estrictamente crecientes, y afirmamos que $$y_4 < k(k+1)(k+2)^2 < y_5$$ Un poco de álgebra da $$y_4 = 8k^3-4k$$ entonces \begin{equation*}k(k+1)(k+2)^2-y_4 = k^4-3k^3+8k^2+8k = k^3(k-3)+8k^2+8k\end{equation*} lo cual es claramente positivo para $k\geq 3$ y es fácilmente verificado que es positivo para $k=1,2$.
Para la desigualdad de la derecha anterior, tenemos $$y_5 = 16k^4-12k^2+1$$ y luego $$y_5 - k(k+1)(k+2)^2 = 16k^4-12k^2+1 - (k^4+5k^3+8k^2+4k)$$ $$ = 15k^4-5k^3-20k^2-4k+1$$ y examinando el gráfico (porque no veo una manera elegante de hacer esto) vemos que esto es positivo para $k\geq 2$, y sabemos que $k=1$ (correspondiente a $m=2$) no es una solución de la ecuación original.
Esto muestra que $k(k+1)(k+2)^2$ no puede ser uno de los $y_n$, por lo que no es posible ninguna solución de la ecuación original.
Estoy seguro de que debería haber una solución más simple, pero no he podido encontrar una.
