cómo calcular esta integral para la serie de fourier

Question

Estoy tratando de encontrar la transformada de Fourier de seno y coseno de la serie de $\frac{1}{(1+x^2)}$$0$$2$, y no sabes por dónde empezar para evaluar esta integral: $\int \frac{sin(nx)}{(1+x^2)} dx$ (y lo mismo para el coseno de la serie también). Encontré $a_0$ desde la integración de la función da a la función arctan. Por favor alguien puede ayudar con el seno y el coseno de extensiones?

Answer 1

Inicialmente, quiero resolver este problema mediante el teorema de los residuos. Pero me parece que el integrando es impar función de modo que este método no es válido personalmente.

Entonces, supongo que esta integral no puede ser presentada como una forma cerrada. Voy a resolver este problema como sigue

Podemos factorizar el integrando como: $$\dfrac{\sin(nx)}{1+x^2}=\dfrac{\sin(nx)}{(x-i)(x+i)}=\dfrac{1}{2i}(\dfrac{\sin(nx)}{x-i}-\dfrac{\sin(nx)}{x+i})$$

De modo que la integral es

$$I=\dfrac{1}{2}(\int_0^2\dfrac{\sin(nx)}{x i}dx-\int_0^2\dfrac{\sin(nx)}{x+i}dx)$$ Tenga en cuenta que $$\int_0^2\dfrac{\sin(nx)}{x i}dx \stackrel{x-i=t} {=} \int_{-i}^{2-i}\dfrac{\sin(n(t+i))}{t}dt=\int_{-i}^{2-i}\dfrac{\sin(nt)\cos(ni)+\cos(nt)\sin(ni)}{t}dt\\ =\cosh(n)\int_{-i}^{2-i}\dfrac{\sin(nt)}{t}dt+i\sinh(n)\int_{-i}^{2-i}\dfrac{\cos(nt)}{t}dt\\ =\cosh(n)(Si((2-i), n)+Si(en))+i\sinh(n)(Ci((2-i)n)-Ci ())$$ donde $$Si(x)=\int_0^x\frac{\sin(t)}{t}dt\qquad Ci(x)=\gamma+\ln(x)+\int_0^x\frac{\cos(t)-1}{t}dt$$ y $\gamma$ es la constante de Euler.

Del mismo modo, hemos $$\int_0^2\dfrac{\sin(nx)}{x+i}dx=\cosh(n)(Si((2+i)n)-Si(en))+i\sinh(n)(-Ci((2+i)n)+Ci(en))$$

En resumen, tenemos: $$I=\dfrac{1}{2}[(Ci(en)-Ci(n(i+2))-Ci (-)+Ci(n(2-i)))\sinh(n)-(Si(n(i+2))+Si(n(2-i)))i\cosh(n)]$$ Yo sólo se puede calcular a aquí.