Por favor, ayúdame a entender un ejemplo de Folland.

Question

Capítulo 1. Medidas de Borel.

Dejemos que $\{ r_j\}_j^\infty$ sea una enumeración de números racionales en [0,1], y dada $\epsilon>0$ , dejemos que $I_j$ sea un intervalo abierto alrededor de $r_j$ de longitud $\epsilon 2^{-j}$ . Entonces el conjunto $U=(0,1)\cap \cup_1^\infty I_j$ es abierta y densa en [0, 1], pero $m(u)\leq \sum_1^\infty \epsilon 2^{-j}=\epsilon$ su complemento $K=[0,1]\setminus U$ es cerrado y no es denso en ninguna parte, pero $m(K)=1-\epsilon$ .

Este ejemplo contradice mi intuición. Si $K$ no es denso en ninguna parte, entonces su cierre no debe contener ningún intervalo abierto. Si este es el caso, la medida de Lebesgue de $K$ debe ser igual a cero, no positivo. Plese, ayúdame aquí.

Answer 1

El problema de la intuición es que se basa en la vida real. Esto hace que a veces falle cuando se trata de conjuntos infinitos, y especialmente incontables.

Tu intuición te dice que si un conjunto tiene medida positiva, entonces debe contener un intervalo. Nosotros eso no es cierto, intenta demostrarlo y verás. El conjunto $K$ anterior es un contraejemplo. Otro ejemplo sencillo es el Conjunto de Cantor de medida positiva (este tipo de conjunto es una buena fuente para muchas propiedades "contraintuitivas")